问题补充:
阅读材料:
(1)对于任意实数a和b,都有(a-b)2≥0,∴a2-2ab+b2≥0,于是得到a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
(2)任意一个非负实数都可写成一个数的平方的形式.即:如果a≥0,则.如:2=,等.
例:已知a>0,求证:.
证明:∵a>0,∴
∴,当且仅当时,等号成立.
请解答下列问题:
某园艺公司准备围建一个矩形花圃,其中一边靠墙(墙足够长),另外三边用篱笆围成(如图所示).设垂直于墙的一边长为x米.
(1)若所用的篱笆长为36米,那么:
①当花圃的面积为144平方米时,垂直于墙的一边的长为多少米?
②设花圃的面积为S米2,求当垂直于墙的一边的长为多少米时,这个花圃的面积最大?并求出这个最大面积;
(2)若要围成面积为200平方米的花圃,需要用的篱笆最少是多少米?
答案:
(1)解:由题意得?x(36-2x)=144,
化简后得?x2-18x+72=0
解得:x1=6,x2=12,
答:垂直于墙的一边长为6米或12米;
(2)解:由题意得
S=x(36-2x)=-2x2+36x,
=-2(x-9)2+162,
∵a=-2<0,∴当x=9时,S取得最大值是162,
∴当垂直于墙的一边长为9米时,S取得最大值,最大面积是162m2;
(3)解:设所需的篱笆长为L米,由题意得,
即:,
∴若要围成面积为200平方米的花圃,需要用的篱笆最少是40米.
解析分析:(1)①用含x的代数式表示出矩形的另一边的长,再根据矩形的面积公式即可建立方程,方程的解即为垂直于墙的一边的长;
②利用二次函数的性质即可求出当垂直于墙的一边的长为多少米时,这个花圃的面积最大值和此时的面积;
(2)设所需的篱笆长为L米,由题意得:,再根据给出的材料提示即可求出需要用的篱笆最少是多少米.
点评:此题考查了二次函数和一元二次方程的实际应用问题.解题的关键是根据题意构建二次函数模型,然后根据二次函数的性质求解即可.
阅读材料:(1)对于任意实数a和b 都有(a-b)2≥0 ∴a2-2ab+b2≥0 于是得到a2+b2≥2ab 当且仅当a=b时 等号成立.(2)任意一个非负实数都可