解答题已知．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断并用定义证明函数f（x）的单调性；

问题补充：

解答题已知．

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）判断并用定义证明函数f（x）的单调性；

（3）求函数f（x）的反函数f-1（x）；

（4）若对任意满足x1+x2=m的正实数x1、x2，不等式f-1（x1）f-1（x2）＞f-1（m）恒成立．求m的取值范围．

答案：

解：（1）由得定义域为（0，1]．

（2）f（x）在（0，1）内单调递减，证明如下．

设0＜x1＜x2≤1，则．

即f（x2）＜f（x1）．这就是说函数f（x）在（0，1]上单调递减．

（3）令，解得（y≥0），即（x≥0）．

（4）由f-1（x1）f-1（x2）＞f-1（m），

化简得到：（1+x12）（1+x22）＜1+m2．

注意到m=x1+x2，以及x1，x2＞0代入整理得：x1x2＜2．

把x2=m-x1代入整理得到：x12-mx1+2＞0．

该关于x1的不等式对于一切（0，m）内的x1恒成立．

所以．解得．解析分析：（1）函数有意义，根号里式子必须不小于0，注意x≠0，（2）设0＜x1＜x2≤1，证得f（x2）-f（x1）＜0即可，（3）令，根据反函数的定义解得x与y的关系式，注意反函数的定义域，（4）根据f-1（x1）f-1（x2）＞f-1（m）可得（1+x12）（1+x22）＜1+m2，理解题干可知m=x1+x2，然后把把x2=m-x1代入整理得到：x12-mx1+2＞0，不等式恒成立，解得m的取值范围．点评：本题主要考查反函数的知识点，解答本题的关键是会求出一个函数的反函数，本题第（4）问有点难度，但是只要理解题意，解决恒成立问题也比较简单，本题难度一般．