典型例题分析1：
如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=9，tan∠CDA=2/3，求BE的长．
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，
又∵∠CDA=∠CBD，
而∠CBD=∠1，
∴∠1=∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵EB为⊙O的切线，ED是切线，
∴ED=EB，∵OB=OD，
∴OE⊥DB，
∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠OEB，
∴∠CDA=∠OEB．
而tan∠CDA=2/3，
∴tan∠OEB=OB/BE=2/3，
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，
∴CD/CB=OD/BE=OB/BE=2/3，
∴CD=2/3×9=6，
在Rt△CBE中，设BE=x，
∴（x+6）2=x2+92，
解得x=15/4．即BE的长为15/4．
典型例题分析2：
如图，在等腰△ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E，垂足为点F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径R=5，tanC=1/2，求EF的长．
典型例题分析3：
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弧AB =弧BD，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠1=∠BCE；
（2）求证：BE是⊙O的切线；
（3）若EC=1，CD=3，求cos∠DBA．
考点分析：
切线的判定与性质；三角形的外接圆与外心；解直角三角形．
题干分析：
（1）过点B作BF⊥AC于点F，然后证明△ABF≌△DBE（AAS），即可得出∠1=∠BCE；
（2）先证明∠BAC=∠EBC，由于OA=OB，所以∠BAC=∠OBA，从而可知∠EBC=∠OBA，所以∠EBC+∠CBO=∠OBA+∠CBO=90°，从而可知BE是⊙O的切线；
（3）易证△EBC≌△FBC（AAS），从而可求出CF=CE=1，然后求出AC以及AF的长度后，即可求出cos∠DBA的值．
