问题补充:
已知:如图,正方形纸片ABCD的边长是4,点M、N分别在两边AB和CD上(其中点N不与点C重合),沿直线MN折叠该纸片,点B恰好落在AD边上点E处.
(1)设AE=x,四边形AMND的面积为?S,求?S关于x?的函数解析式,并指明该函数的定义域;
(2)当AM为何值时,四边形AMND的面积最大?最大值是多少?
(3)点M能是AB边上任意一点吗?请求出AM的取值范围.
答案:
解:(1)依题意,点B和E关于MN对称,则ME=MB=4-AM,
由勾股定理得:AM2+AE2=ME2
即AM2+x2=(4-AM)2,
解得AM=2-x2,
作MF⊥DN于F,则MF=AB,且∠MFN=90°,∠BMF=90°,
∵沿直线MN折叠该纸片,点B恰好落在AD边上点E处
∴MN⊥BE,
∴∠ABE=90°-∠BMN,
又∵∠FMN=∠BMF-∠BMN=90°-∠BMN,
∴∠FMN=∠ABE,
在△FMN和△ABE中
,
∴Rt△FMN≌Rt△ABE(ASA),
∴FN=AE=x,DN=DF+FN=AM+x=2-x2+x,
∴S=(AM+DN)×AD,
=×(2-x2+2-x2+x)×4,
=-x2+2x+8.其中0≤x<4,
(2)∵S=-x2+2x+8=-(x-2)2+10,
∴当x=2时,S最大=10,
此时,AM=2-×22=1.5,
答:当AM=1.5时,四边形AMND的面积最大,为10.
(3)不能.∵AM<ME,BM=ME,
AM+BM=4,
∴2AM<4,
∴AM<2,
当AM=2时,A和E重合,
∴AM的取值范围是:0<AM≤2.
解析分析:(1)根据点B和E关于MN对称,得出ME=MB=4-AM,根据勾股定理得出AM2+AE2=ME2=(4-AM)2,求出AM,作MF⊥DN于F,推出∠FMN=∠ABE,根据AAS证Rt△FMN≌Rt△ABE,求出FN=AE=x,DN=2-x2+x,根据梯形面积公式求出即可;(2)把S=-x2+2x+8化成顶点式,即可求出
已知:如图 正方形纸片ABCD的边长是4 点M N分别在两边AB和CD上(其中点N不与点C重合) 沿直线MN折叠该纸片 点B恰好落在AD边上点E处.(1)设AE=x