问题补充:
如图,AD是⊙O的直径,过⊙O上一点E作直线L,交AD的延长线于点B,AC⊥L于点C,AC交⊙O于点G,E为劣弧GD的中点.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若AG=6,CE=4,求⊙O的半径.
答案:
(1)证明:连接OE,GD交于F.
∵AD是⊙O的直径,
∴OE=OA,
∴∠OEA=∠OAE,
∵E为劣弧GD的中点,
∴=,
∴∠GAE=∠OAE,
∴∠OEA=∠GAE,
∴OE∥AC,
又AC⊥BC,
∴OE⊥BC.
又OE是⊙O的半径,
∴BC是⊙O的切线;
(2)解:设⊙O的半径是r.
由(1)知,OE⊥BC,
∵AD是圆O的直径,
∴∠AGD=90°,
∴AG⊥GD.
∵AC⊥BC,
∴GD∥BC.
∴四边形GCEF是矩形,则则CE=GF=4.
∵OE是半径,GD是非直径的弦,
∴GF=FD=4,GD=8.
∵AG=6,
∴AD=10,半径为5.
即⊙O的半径是5.
解析分析:(1)连接OE,OE=OA,则得∠OEA=∠OAE,又由“E为劣弧GD的中点”推知=,所以∠GAE=∠OAE,则∠OEA=∠GAE,所以OE∥AC,因此OE⊥BC,从而证得BC是⊙O的切线;
(2)利用切线的性质、圆周角定理证得四边形GCEF是矩形;然后根据矩形的性质、三角形中位线定理来求圆O的半径.
点评:此题考查的知识点是切线的判定、等腰三角形的判定与性质,关键(1)是先由半径的等腰三角形得角相等,等弧的圆周角相等,得OE∥AC,即得AC⊥BC,从而得证;(2)关键是先证得OF是三角形AGD的中位线,从而求出半径r.
如图 AD是⊙O的直径 过⊙O上一点E作直线L 交AD的延长线于点B AC⊥L于点C AC交⊙O于点G E为劣弧GD的中点.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若AG