问题补充:
如图,AD是⊙O的直径,过⊙O上一点E作直线l,交AD的延长线如点B,AC⊥l于点C,AC交⊙O于点G,E为的中点.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若AC+GC=5,⊙O的半径为r,求代数式+的值.
答案:
(1)证明:连接OE,GD交于F.
∵AD是⊙O的直径,
∴OE=OA,
∴∠OEA=∠OAE,
∵E为的中点,∴=,
∴∠GAE=∠OAE,
∴∠OEA=∠GAE,
∴OE∥AC,
又AC⊥BC,
∴BC是⊙O的切线;
(2)解:∵OE∥AC,OD=OA,
∴OF三角形AGD的中位线,
∴OF=r-EF=(AC-CG)=(AC+GC-2GC)=×5-GC=-GC,
则r=.
把r=代入代数式+得:
+=4,
所以代数式+的值为4.
解析分析:(1)连接OE,OE=OA,则得∠OEA=∠OAE,又由,E为的中点,推出=,所以∠GAE=∠OAE,则∠OEA=∠GAE,所以OE∥AC,因此OE⊥BC,从而证得BC是⊙O的切线;
(2)由(1)证得OE∥AC,OD=OA,所以OF是三角形ADG的中位线,所以可求出r,从而求出代数式+的值.
点评:此题考查的知识点是切线的判定、等腰三角形的判定与性质,关键(1)是先由半径的等腰三角形得角相等,等弧的圆周角相等,得OE∥AC,即得AC⊥BC,从而得证;(2)关键是先证得OF是三角形AGD的中位线,从而求出半径r.
如图 AD是⊙O的直径 过⊙O上一点E作直线l 交AD的延长线如点B AC⊥l于点C AC交⊙O于点G E为的中点.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若AC+GC=