问题补充:
已知:如图,在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.且点E在下底边BC上,点F在腰AB上.
(1)若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE的长为x,试用含x的代数式表示△BEF的面积;
(2)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在,求出此时BE的长;若不存在,请说明理由;
(3)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:3两部分?若存在,求出此时BE的长;若不存在,请说明理由.
解:
答案:
解:(1)由已知条件得:
梯形周长为24,高4,面积为28.
过点F作FG⊥BC于G,
∴BK=(BC-AD)=×(10-4)=3,
∴AK==4,
∵EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,
∴BF=12-x,
过点A作AK⊥BC于K
∴△BFG∽△BAK,
∴,
即:,
则可得:FG=×4
∴S△BEF=BE?FG=-x2+x(7≤x≤10);
(2)存在
由(1)得:-x2+x=14,
x2-12x+35=0,
(x-7)(x-5)=0,
解得x1=7,x2=5(不合题意舍去)
∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分,此时BE=7;
(3)不存在
假设存在,显然是:S△BEF:SAFECD=1:3,(BE+BF):(AF+AD+DC+CE)=1:3,
梯形ABCD周长的四分之一为6,面积的四分之一为7.因为BE=x,
所以BF=(6-x),FG=,
所以△BEF的面积为=7,
整理得:-2x2+12x-35=0,
△=144-280<0
∴不存在这样的实数x.
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:3的两部分.
解析分析:(1)先作AK⊥BC于K,FG⊥BC于G,根据等腰梯形的性质,可得BK=(BC-AD)=3,在Rt△ABK中,利用勾股定理可求出AK=4,由于AK、FG垂直于同一直线故平行,可得比例线段,求出FG=,利用面积公式可得S△BEF=-x2+x(7≤x≤10,因为BF最大取5,故BE最小取7,又不能超过10);
(2)根据题意,结合(1)中面积的表达式,可以得到 S梯形ABCD=-x2+x,即14=-x2+x,解得,x1=7,x2=5(不合题意,舍去);
(3)仍然按照(1)和(2)的步骤和方法去做就可以了,注意不是分成相等的两份,而是1:3就可以了,得到关于x的一元二次方程,先求出根的判别式△,由于△<0,故不存在实数根.
点评:本题考查了相似三角形的判定和性质,根的判别式以及等腰梯形的性质,综合运用了等腰梯形的性质、垂直于同一直线的两直线平行,勾股定理,三角形、梯形面积公式,解一元二次方程,以及一元二次方程根的判别式等知识.
已知:如图 在等腰梯形ABCD中 AB=DC=5 AD=4 BC=10.且点E在下底边BC上 点F在腰AB上.(1)若EF平分等腰梯形ABCD的周长 设BE的长为x