问题引入
已知的半径为，为圆内一定点，．为圆上一动点，以为边作等腰，，，的最大值为______．
图1从简单问题入手
在图2中，的半径为，点为上的一个动点，点在线段上，且，(为定值)，可得(定值).
图2
所以当点在运动时，点的路径是以为半径的圆.
到定点距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、定长为半径的圆.
作一些变化
把图2中的线段一个端点从圆心移到圆内的其它任意一点.(图3)
图3
当点在上运动的时候，线段上一点的路径还是不是一个圆呢？
在图3中，定义点为圆内点，点为主动点，点为从动点.
连接，找出线段上一点，使得，
图4
再连接、，可知，.
的长度是定值，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.
图5 点的轨迹
所以的轨迹也是一个圆，这个圆上的点都是的轨迹上的点沿方向平移得到的.平移距离是的长度.
所以从动圆的圆心也是沿方向平移的长度得到.
图6 点的轨迹，绿色圆
图7 补一张、轨迹演示图
如果主动点的运动轨迹是圆，那么从动点的运动轨迹也是一个圆.
我们把这两个圆分别叫做主动圆和从动圆.
从动圆的圆心在主动圆的圆心和圆内点之间的连线段上.
两个圆心之间的距离是圆内点和主动圆心的倍.
如果圆内点变成圆外点，结果又会如果呢？
图8 得到的结果和圆内点的时候是一样的一个简单的例子
如图9，在等腰中，，，点P在以为直径的半圆上，为的中点.当点P沿半圆从点A运动到点B时，点M运动的路径长是
图9
先确定图中的点的名称
图10
主动点、从动点、圆内点之间是平移的关系，就是将主动圆心向圆内点平移，使得它为中点，
图11
可知，图中红色虚线就是点的路径，其长度为.
继续深化一下
以上从动点由主动点平移得到的.
当从动点是通过旋转主动点得到的，那又是什么情况呢？
图12
如图，点是由点绕圆内点逆时针旋转度得到，那么当在上运动时，点的轨迹也是圆（从动圆）.此时从动圆的圆心也是由主动圆的圆心绕圆内点逆时针得到的.
图13 可以得到图中的两个有色三角形是相似的
图14 再补充一下动态图
如果从动点是由主动点既平移又旋转得到，那么从动圆的圆心一定是由主动圆的圆心既平移又旋转得到.平移的方向和旋转的中心都和圆内点有关.
第二个例子
已知的半径为，为圆内一定点，．为圆上一动点，以为边作等腰，，，的最大值为___________．
图15
先看下面的图：
图16
由，在红线上找一点使得，这样就确定了从动圆的圆心.
就是从动圆的半径.由上图可知，，
图17
，，.
图18
