欢迎来到百家号“米粉老师说数学”，初中几何压轴题型当中，点的运动路径问题估计是最后一个专题，初三下学完《圆》章节之后，数学题中就会出现这些题型。点的运动轨迹问题，顾名思义，指的是求动点在自身运动或随着图形运动的路程，由于点的运动位置不确定，要刻画并求出它的运动路径，是解决这类题型的一大难点，今天，我们就如何确定动点的运动路线特点及求解方法做出交流与探讨，与大家一起分享。
总体解题思路
极端情况考虑，抓住点运动的特殊位置，找出运动路线，再依题目条件解题；
解题技巧
抓住动点运动过程中的三个特殊位置点（起始位置、中途任意位置、结束位置），并把这三点连线，确定运动路线，再求出它的长度；
范例精讲
例1.点P、Q是正方形ABCD边AB和BC上的动点，且PQ=AB=8，若点Q从点B出发沿BC边向点C运动，则点P随之沿AB下滑，当B到达C点时停止运动，则点Q在B到C的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径长为_____
解析：很明显，O点在以B为圆心，
BO（即PQ/2=AB/2=4）
为半径的1/4圆上运动，
路径长=1/4×2×4Л=2Л
例2.如图，在扇形AOB中，OA、OB是，且OA=4，∠AOB=120°，点P是弧AB上一动点，连接AP、BP，分别作OC⊥PA于点C，OD⊥PB于点D，连接CD.（1）如图1，在点P的移动过程中，线段CD的长是否会发生变化，若不发生变化，求出CD的长；若发生变化，请说明理由；（2）如图2，若点M、N为弧AB的三等分点，点Q为△DOC的外心，当点P从点M运动到点N运动，点Q所经过的路径长为__________.(直接写出结果)
解析：（1）如图3，连接OP，AB，
作OH⊥AB于点H。
∵OA=OB=OP，OC⊥PA，OD⊥PB，
∴C、D是中点，∴CD=AB/2，
AH=BH，∠AOH=60°，
∴CD=AH=2√3，
是定值，不会发生变化。
（2）如图4，当P与M重合时，取OP的中点Q，
∵∠OCP=∠ODP=90°，
∴QO=QD=QC=OP/2，
∴点Q是△OCD的内心。
由图5可知，当P从M运动到N点时，
Q的运动轨迹为以O为圆心，OQ为半径，
圆心角∠QOQ`=40°的圆弧，
∴运动路径长=40°÷360°×2Л×2=(4/9)Л.
例3. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E,F分别从点A、D以相同的速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从D 向点C运动，点E运动到D点时，E、F停止运动，连接BE、AF相交于点G，连接CG，有下列结论：①AF⊥BE；②点G随着点E、F的运动而运动，且点G的运动路径的长度为Л；③线段DG的最小值为2√5-2；④当线段DG最小时，S△BCG=8+(8/5)√5,其中正确的命题有__________
解析：①先证△ABE≌△DAF（AAS），
可得∠ABE=∠DAF,
∵∠DAF+∠BAG=90°,
∴∠ABE+∠BAG=90°,
即AF⊥BE；
②∵∠AGB保持90°不变，
∴G点在以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，
由运动知，点E运动到点D时停止，
同时点F运动到点C,
∴点G的运动路径是以AB为直径的圆所在的圆弧所对的圆心角为90°，
∴长度为90Л×2÷180=Л.
③∵OG=AB/2=2,固定长，
∴要求DG最短，即求OG+DG最短，
当O、G、D在同一条直线上时，DG取最小值，
OD=2√5，
∴DG的最小值为OC﹣OG=2√5﹣2，
故③正确；
④过G作BC 垂线与AD相交相交于点M，与BC相交于点N，
∴GM//OA,∴GM:OA=DG:DO,
∴GM=2-0.4√5,∴GN=2+0.4√5,
∴S△BCG=4+0.4√5,
∴故④错误；
例4.（1）如图.已知正三角形ABC的中心O，边长为2，将其沿直线向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路径长是___________（2）如图.已知正四边形ABCD的中心O，边长为2，将其沿直线向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路径长是___________
解析：（1）如图2，O点的运动轨迹是三个半径为(2/3)√3，
圆心角为120°的扇形，
所以路径长=3×120÷360×2Л×(2/3)√3
=(4/3)√3Л.
（2）如图2，O点的运动轨迹是四个半径为√2 ，
圆心角为90°的扇形，
所以路径长=4×90÷360×2Л×√2
=2√2Л
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