贪吃抛物线与好点的故事——浙江金华中考函数压轴题

贪吃抛物线与好点的故事——浙江金华中考函数压轴题

通常情况下，一个规则区域内的整数点，只要确定了边界，一般还是很容易找到的，特别是矩形区域最简单，稍复杂一点，三角形区域，再难一点，弄个圆，而今天，则是用抛物线。解决这个问题，最大的困难在于，边界到底经过哪些整数点，以及如何判断整数点是否在区域内，浙江金华中考数学试题倒数第二题，便是基于这个考点的“好点”问题。

题目

如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，边OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及其边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点，点P为抛物线y=-(x-m)+m+2的顶点。

(1)当m=0时，求该抛物线下方(包括边界)的好点个数；

(2)当m=3时，求该抛物线上的好点坐标；

(3)若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点，求m的取值范围。

解析：

(1)当m=0时，抛物线解析式为y=-x+2，为了方便我们后续解题，不妨将正方形内所有整数点用细线描出来，同时作出m=0时的抛物线，如下图：

我认为第1小题作出这样的规则抛物线并不困难，毕竟在二次函数图象与性质的新课中，我们对学生是要求绘制抛物线图象的，只要基本功尚在，便可从图中看出好点有5个，然而实际上，本题并非对作图有唯一要求，而是对好点概念的深度理解。

我们用x=0，x=1，……等一系列垂直于x轴的直线去切割抛物线，这样可得到许多交点，这些交点的纵坐标便是我们确定好点个数的依据，当x=0时，y=2，于是这条直线上便有(0,0)，(0,1)，(0,2)三个好点，当x=1时，y=1，于是这条直线上便有(1,0)，(1,1)两个好点，而当x=2时，y=-2，不在正方形内，没有好点。

这种思路便是解决本题的基本框架。

(2)当m=3时，抛物线解析式为y=-(x-3)+5，我们依然用上一小题的办法来确定好点坐标，当x=0时，y=-4，不在正方形内，没有好点，当x=1时，y=1，于是这条直线上有(1,0)，(1,1)两个好点其中(1,1)在抛物线上；当x=2时，y=4，于是这条直线上有(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)五个好点，其中(2,4)在抛物线上；当x=3时，y=5，于是这条直线上有(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)五个好点，因为(3,5)在正方形外，所以抛物线上没有好点；当x=4时，y=4，和当x=2时一样，有五个好点，分别是(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，其中(4,4)在抛物线上；至此，好点总共有三个，分别是(1,1)，(2,4)，(4,4)在抛物线上。如下图所示：

(3)由于抛物线解析式给出的是顶点式，因此可知P(m,m+2)，它恰好在直线y=x+2上运动，不妨作出这条直线以便确定m的初始范围，如下图：

直线y=x+2在正方形内的部分即为点P可运动范围，0<m<2，我们可利用第1小题的结论以及方法来先看看当m取特殊值时，所包围的整数点即好点的个数，m=0时有5个，此时将整数点用粗圆点标记出，同时由于整个抛物线是沿直线y=x+2方向运动，它将经过的每个好点，我们用H1-5来表示，而它们分别对应抛物线上的点P1-5，于是这条抛物线就像游戏中的贪吃蛇一样，在运动路线上依次吞下最近的好点，如下图：

我们可以想像，当抛物线沿右上方向平移时，点P1会经过下一个好点H1，点P2会经过下一个好点H2，依次类推，但点P和点H之间的距离是不同的，因此，各点P到达点H的次序不同，而我们只要求区域内有8个好点，所以在原有5个好点基础上，取最先到达的3个好点即可，换句话讲，只要能求出各点P到H的距离，按顺序取前三名即可。

从图中可以看出P1H1=P3H3=√2，是所有距离中最长的，于是五个候选好点中，只剩下三个，那么第三名究竟是谁呢？我们可通过计算得出，分别联立y=x+1、y=x-1、y=x-2与抛物线y=-x+2，分别解得P2、P4、P5的横坐标，然后可计算出P2H2、P4H4、P5H5的距离，结果为P2H2<P5H5<P4H4，于是我们可以想像，抛物线缓缓平移，最先被吞掉的是好点(1,2)，然后是好点(2,0)，接着是好点(2,1)，在吞下这3个好点之后，区域内已经有8个好点了，而在抛物线运动方向上，还有两个好点即将被吞掉，因此，m必须小于1，否则区域内的好点个数将超过8个，所以，我们只需要计算当抛物线吞下第3个好点(2,1)时，m的值即可。

将(2,1)代入y=-(x-m)+m+2，解得m=(5±√13)/2，因为0<m<1，所以m=(5-√13)/2，现在可以确定m的范围了，即(5-√13)/2≤m<1。

解题反思

在没有精确绘图工具的前提下，学生往往很难理解抛物线围成的区域内整数点，而有游戏体验的学生，若能结合抛物线运动路线和整数点的意义，不难将整个抛物线看作一个缓缓前行的贪吃蛇，一路吞下靠近的好点，因为运动方向确定，抛物线形状确定。这对学生的函数图像性质理解要求极高，而这种深度理解，必须在新授课时，通过剖析抛物线绘制本质，描点法绘制抛物线是一项基本技能，在解本题过程中，其实学生也有办法利用手头工具完成原本在几何画板上才能进行的动画，先在一张草稿纸上用描点法精确绘制出y=-x+2的图象，然后撕下来，在另一张纸上画出正方形及其内部方格线，然后便可以平移来观察。只不过这种操作颇耗时间，如果前面答题不顺利，很难有机会去这样做。

整个题目中，前两个小题其实也是给学生机会，暗中引导思维，给学生搭好了梯子，稍作思考，便可上路。假设最终仍未找到思路，那只好反思自己平时的学习，究竟时间都花在了刷题上，还是精解精练，勤于反思上了。

作为老师在研究这道题，一般是借助了几何画板工具的，不可否认，基本上动一动，再看一下，结果就能发现。但是问题远没有解决，老师解题的目的是讲给学生听，难不成在课堂上这么一拖一放，学生便明白了？显然不是。因此，一些现代化信息技术手段，并不是直接演示给学生看，而是作为老师研究工具，在用几何画板演示之后，便需要老师去认真思考这背后的形成原因，然后再组织适当的语言讲解给学生听，这些事情，是任何信息技术手段代替不了的。