相似三角形，作为初中数学一个常考的知识点，常常令老师和同学们头疼。尤其是每一年的中考数学压轴题，少了相似都感觉不够完美，多了相似又觉得太过于刁难学生。在这种若隐若现的题型中，相似三角形拉低了学生的中考成绩，也甄选了一部分优才生。
比如下面这道相似三角形的压轴题！
例题、在△ABC中，∠ABC＝90°，AB：BC=n ，M是BC上一点，连接AM。
（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN
（2）过点B作BP⊥AM ， P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q
① 如图2，若n＝1，求证：CP：PQ=BM：BQ
② 如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值（用含n的式子表示）
【吐槽】其实第（1）问非常的熟悉，全等三角形的常见模型——背靠背模型！也有的同学习惯叫三垂直模型。
第（2）问呢，学过奥数的都知道，非常经典的燕尾模型！然而在中考数学中，却不得不将她遗弃。①中点，最明显的莫过于中线倍长了！再构造“8”字模型即可。②又是中点！已经无力吐槽了，中点在中考压轴题中太常见了。对于中点相关的知识，备考时，考生们一定要慢慢的品，品出经验，品出花样！
【考点】全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 （1） 如图1中，延长AM交CN于点D，利用垂直的定义及余角的性质，可证得∠BAM＝∠BCN，由n=1，可知AB=BC，再利用ASA证明△ABM≌△CBN，然后利用全等三角形的性质可证得结论。
（2）①证明：如图2中，过点C作CH∥AB交BP的延长线与H，利用平行线的性质，可知∠BCH=∠ABC，利用余角的性质，可证∠AMB＝∠H，由n=1可得到AB=BC，再利用AAS证明△ABM≌△BCH，从而可得到MB=CH，然后根据平行线分线段成比例定理，得出对应相等成比例，继而可证得结论；
②如图3中，过点C作CD∥AB交BP的延长线与D，作CE⊥BD于E，利用线段中点的定义可知BC=2CM，设CM为m，由AB：BC=n可表示出BC、AB，再证明△BCD∽△ABM，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，求出CD，在Rt△BCD和Rt△AMB中，利用勾股定理求出BD，AM，根据同一个直角三角形的面积相等，分别求出PB、CE，再利用平行线分线段成比例，可知BP=PE，就可得到PE的长，根据对顶角相等，可证∠BPQ＝∠CPE，然后在Rt△PCE中，利用锐角三角函数的定义，可求出tan∠BPQ。
关于相似三角形，不知道各位初三的小哥哥小姐姐们怎么看？欢迎留下你靓丽的评论……
