如图，已知抛物线y=﹣x2+2x经过原点O，且与直线y=x﹣2交于B，C两点．
（1）求抛物线的顶点A的坐标及点B，C的坐标；
（2）求证：∠ABC=90°；
（3）在直线BC上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；2·1·c·n·j·y
（4）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
考点分析：
二次函数综合题．
题干分析：
（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标，联立抛物线与直线的解析式可求得B、C的坐标；
（2）由A、B、C的坐标可求得AB2、BC2和AC2，由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形；
（3）过点P作PG∥y轴，交直线BC于点G，设出P点坐标，则可表示出G点坐标，从而可表示出PG的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时P点坐标；
（4）设出M、N的坐标，则可表示出MN和ON的长度，由相似三角形的性质可得到关于N点坐标的方程可求得N点坐标。
