第22讲 正方形的性质与判定(含压轴题)
考点分析
1、正方形的定义:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质:(1)正方形的四条边相等;(2)正方形的四个角都是直角;(3)正方形的对角线互相平分且相等,并且每条对角线平分一组对角;(4)正方形是轴对称图形,也是中心对称图形;对称中心为对角线的交点。
3、正方形的判定:
4、平行四边形、矩形、菱形以及正方形之间的关系
思想方法
基本思想:
正方形的判定可简记为:菱形+矩形=正方形,其证明思路有两个:先证四边形是菱形,再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形);或先证四边形是矩形,再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形).
真题精选
例题精讲
类型一、正方形的性质
【解后感悟】根据轴对称图形的性质,解决问题即可;
【解后感悟】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得.
【解后感悟】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标,再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标.
【解后感悟】(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可;
(2)四边形AECF是菱形,根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断;
【解后感悟】(1)利用正方形的性质得出AD=AB,∠DAB=∠ABC=90°,即可得出结论;
(2)利用(1)的结论得出∠ADF=∠BAE,进而求出∠ADF+∠DAO=90°,最后用三角形的内角和定理即可得出结论.
类型二、正方形的判定
例题7、(湘西州)下列说法中,正确个数有①对顶角相等;②两直线平行,同旁内角相等;③对角线互相垂直的四边形为菱形;④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解答】解:①对顶角相等,故①正确;②两直线平行,同旁内角互补,故②错误;③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形,故③错误;④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形,故④正确,故选:B.
【解后感悟】根据对顶角的性质,菱形的判定,正方形的判定,平行线的性质,可得答案.
类型三、与正方形有关的压轴题
【解后感悟】根据题意推知EF∥AD,由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD,结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答.
【解后感悟】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD,每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°,然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF,进一步得∠AGE=∠BGF=90°,从而知GH=0.5BF,利用勾股定理求出BF的长即可得出答案.
【解后感悟】
根据正方形的四条边都相等可得AB=AD,每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°,然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF,进一步得∠AGE=∠BGF=90°,从而知GH=
0.5BF,利用勾股定理求出BF的长即可得出答案.
【解后感悟】(1)通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE;
(2)设AE=x,则BF=x,DE=AF=2,利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到0.5xx+0.5x2=24,解方程求出x得到AE=BF=6,则EF=x﹣2=4,然后利用勾股定理计算出BE,最后利用正弦的定义求解.
【解后感悟】本题是三角形与四边形综合问题,涉及全等三角形、平行四边形、矩形、正方形的判定与性质.解题的关键是利用全等三角形的对应边相等进行线段的等量代换,从而求证出平行四边形.
专题小结
正方形是中考必考知识,复习时重点记忆“矩形+菱形=正方形”!
正方形常常出现在选择填空的最后一题,难道较大,复习时注意正方形的综合运用!