第22讲 正方形的性质与判定（含压轴题）
考点分析
1、正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质：（1）正方形的四条边相等；（2）正方形的四个角都是直角；（3）正方形的对角线互相平分且相等，并且每条对角线平分一组对角；（4）正方形是轴对称图形，也是中心对称图形；对称中心为对角线的交点。
3、正方形的判定：
4、平行四边形、矩形、菱形以及正方形之间的关系
思想方法
基本思想：
正方形的判定可简记为：菱形＋矩形＝正方形，其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形)．
真题精选
例题精讲
类型一、正方形的性质
【解后感悟】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；
【解后感悟】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得．
【解后感悟】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标．
【解后感悟】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；
【解后感悟】（1）利用正方形的性质得出AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可得出结论；
（2）利用（1）的结论得出∠ADF=∠BAE，进而求出∠ADF+∠DAO=90°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．
类型二、正方形的判定
例题7、（湘西州）下列说法中，正确个数有①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线互相垂直的四边形为菱形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①对顶角相等，故①正确；②两直线平行，同旁内角互补，故②错误；③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故③错误；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确，故选：B．
【解后感悟】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，可得答案．
类型三、与正方形有关的压轴题
【解后感悟】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．
【解后感悟】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，进一步得∠AGE=∠BGF=90°，从而知GH=0.5BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．
【解后感悟】
根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，进一步得∠AGE=∠BGF=90°，从而知GH=
0.5BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．
【解后感悟】（1）通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；
（2）设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到0.5xx+0.5x2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，则EF=x﹣2=4，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解．
【解后感悟】本题是三角形与四边形综合问题，涉及全等三角形、平行四边形、矩形、正方形的判定与性质．解题的关键是利用全等三角形的对应边相等进行线段的等量代换，从而求证出平行四边形．
专题小结
正方形是中考必考知识，复习时重点记忆“矩形+菱形=正方形”！
正方形常常出现在选择填空的最后一题，难道较大，复习时注意正方形的综合运用！
