第21讲 菱形的判定与性质及其压轴题
考点分析
1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2、菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的一切性质；
（2）边的性质：菱形的四条边都相等；
（3）对角线的性质：菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；
（4）菱形的对称性：菱形是轴对称图形，有两条对称轴，菱形的对称轴为对角线所在的直线；菱形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点；
（5）菱形的面积：菱形的面积计算方式有两种：①底×高；②两条对角线长度相乘再除以2。
3、菱形的判定：（1）从四边形出发，四条边相等的四边形是菱形；
（2）从平行四边形出发，①定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
思想方法
基本方法：等面积法。
菱形的面积计算中，经常运用菱形面积的两种计算方法构造方程，求边长或者线段长度。
真题精选
例题精讲
类型一、菱形的性质
例题1、（十堰）菱形不具备的性质是
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
【分析】根据菱形的性质即可判断；
【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，故选：B．
【解后感悟】（1）根据SAS即可证明．
（2）解直角三角形求出DF、OE、OF即可解决问题；
类型二、菱形的判定
【解后感悟】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形．
【解后感悟】（1）延长AO到E，利用等边对等角和角之间关系解答即可；
（2）连接OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．
类型三、菱形与线段长度
【解后感悟】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．
【解后感悟】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．
【解后感悟】根据菱形的性质和分两种情况进行解答即可．
类型四、菱形与面积
【解后感悟】（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；
（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；
【解后感悟】（1）由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD=AD可得结论；
（2）解直角三角形求出EF的长即可解决问题；
【解后感悟】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；
（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．
类型五、菱形的探究性问题
【解后感悟】（1）依据条件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，依据F是AD的中点，FG∥AE，即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；
（2）过点G作GP⊥AB于P，判定△CAG≌△PAG，可得AC=AP，由（1）可得EG=DG，即可得到Rt△ECG≌Rt△GPD，依据EC=PD，即可得出AD=AP+PD=AC+EC；
（3）依据∠B=30°，可得∠ADE=30°，进而得到AE=0.5AD，故AE=AF=FG，再根据四边形AECF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形．
专题小结
菱形的性质与判定是中考必考知识点。
复习该专题时，应注意菱形的特殊性质，即菱形的四条边相等，菱形的对角线互相垂直且平分一组对角。同时，菱形面积的计算也是中考的热点之一。
