如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上一点,将△ADM沿直线AM对折,得到△ANM.
(1)当AN平分∠MAB时,求DM的长;
(2)连接BN,当DM=1时,求△ABN的面积;
(3)当射线BN交线段CD于点F时,求DF的最大值.
考点分析:
矩形的性质;角平分线的性质.
题干分析:
(1)由折叠性质得∠MAN=∠DAM,证出∠DAM=∠MAN=∠NAB,由三角函数得出DM=ADtan∠DAM即可;
(2)延长MN交AB延长线于点Q,由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ,由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ,AN=AD=3,MN=MD=1,得出∠MAQ=∠AMQ,证出MQ=AQ,设NQ=x,则AQ=MQ=1+x,证出∠ANQ=90°,在Rt△ANQ中,由勾股定理得出方程,解方程求出NQ=4,AQ=5,即可求出△ABN的面积;
(3)过点A作AH⊥BF于点H,证明△ABH∽△BFC,得出对应边成比例BH/AH=CF/BC,得出当点N、H重合(即AH=AN)时,AH最大,BH最小,CF最小,DF最大,此时点M、F重合,B、N、M三点共线,由折叠性质得:AD=AH,由AAS证明△ABH≌△BFC,得出CF=BH,由勾股定理求出BH,得出CF,即可得出结果.