点击右上角关注“陈老师初中数理化”分享学习经验，一起畅游快乐的学习生活。
利用相似三角形性质求解圆的相切问题是数学中考的常考题型，本文就例题详细解析这类题型的解题思路，希望能给初三学生的数学学习带来帮助。
例题
如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC的延长线于点E，P是CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q。
（1）求CE的长；
（2）如果△ACQ∽△CPQ，求CP的长；
（3）如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长。
1、求CE的长
根据平行线性质和题目中的条件：AE∥CD，则∠BAE=∠BDC；
根据等边对等角性质和题目中的条件：CD=BC，则∠ABC=∠BDC；
根据结论：∠BAE=∠BDC，∠ABC=∠BDC，则∠BAE=∠ABC；
根据等角对等边性质和结论：∠BAE=∠ABC，则BE=AE；
设CE=x
根据题目中的条件：BC=2，CE=x，则BE=BC+CE=2+x；
根据结论：BE=AE，BE=2+x，则AE=2+x；
根据勾股定理和结论：∠ACB=∠ACE=90°，AC=3，CE=x，AE=2+x，AE^2=AC^2+CE^2，则x=5/4；
所以，CE的长为5/4。
2、当△ACQ∽△CPQ时，求CP的长
根据相似三角形的性质和题目中的条件：△ACQ∽△CPQ，则∠QAC=∠QCP；
根据外角的性质和结论：∠QAC=∠P+∠ACP，∠QCP=∠ACQ+∠ACP，∠QAC=∠QCP，则∠P=∠ACQ；
根据平行线的性质和结论：AE∥CD，则∠CAE=∠ACQ；
根据结论：∠P=∠ACQ，∠CAE=∠ACQ，则∠P=∠CAE；
根据相似三角形的判定和结论：∠P=∠CAE，∠ACP=∠ACE，则△ACP∽△ECA；
根据相似三角形的性质和结论：△ACP∽△ECA，则AC/CE=CP/AC；
根据结论：AC=3，CE=5/4，AC/CE=CP/AC，则CP=36/5。
3、当以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长
设CP=a
根据平行线等分线段定理和题目中的条件：AE∥CD，则AP/AQ=EP/CE；
根据勾股定理和结论：∠ACE=90°，AC=3，CP=a，AP^2=AC^2+CP^2，则AP=√9+a^2；
根据结论：CP=a，CE=5/4，则EP=CP-CE=a-5/4；
（1）以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C外切
根据题目中的条件：AC=3，BC=2，则AQ=AC-BC=1；
根据结论：AP/AQ=EP/CE，EP=a-5/4，AQ=1，CE=5/4，AP=√9+a^2，则a无解，即不存在这样的圆；
（2）以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C内切
根据题目中的条件：AC=3，BC=2，则AQ=AC+BC=5；
根据结论：AP/AQ=EP/CE，EP=a-5/4，AQ=5，CE=5/4，AP=√9+a^2，则a=（20+4√10）/15或（20-4√10）/15；
根据结论：a=（20-4√10）/15<BC，则a=（20-4√10）/15不符合条件，舍去；
所以，当CP=（20+4√10）/15时，以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C内切。
结语
解决本题的关键是利用相似三角形的对应角相等、对应边成比例的性质，得到角度之间的等量关系和线段长度之间的数量关系，设未知数列方程就可以求得题目需要的值。
