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二次函数的动点问题是数学中考的难点题型，本文就例题详细解析这类题型的解题方法，希望能给初三学生的数学学习带来帮助。
例题
已知二次函数图像的顶点坐标为A（2,0），且与y轴交于点（0,1），点B的坐标为（2,2），C为抛物线上一动点，以点C为圆心，CB的长为半径的圆交x轴于M，N两点（点M在点N的左侧）。
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不发生变化，求出弦MN的长；
（3）当△ABM与△ABN相似时，求出点M的坐标。
1、求二次函数的解析式
设二次函数的解析式为：y=ax^2+bx+c
根据题目中的条件：二次函数的图像与y轴交于点（0,1），则c=1；
根据抛物线的对称性和题目中的条件：二次函数图像的顶点坐标为A（2,0），则抛物线的对称轴-b/2a=2，即b=-4a；
根据题目中的条件：A（2,0）在二次函数的图像上，则0=4a+2b+c；
根据结论：c=1，b=-4a，0=4a+2b+c，可求得a=1/4，b=-1，c=1；
所以，二次函数的解析式为：y=1/4x^2-x+1。
2、当点C在抛物线上运动时，求弦MN的长
连接BC、CN，过点C作CD⊥MN，交MN于点D
根据题目中的条件：点C为圆心，点B、N在圆C上，则BC=CN；
根据垂径定理和题目中的条件：垂直于弦的直径平分这条弦，CD⊥MN，点C为圆心，则DN=DM=MN/2；
设点C的坐标为（m,1/4m^2-m+1）
根据两点间距离公式和题目中的条件：B（2,2），C（m,1/4m^2-m+1），则点B、C间的距离BC^2=(m-2)^2+(1/4m^2-m-1)^2=1/16(m-2)^4+4；
根据结论：BC=CN，BC^2=1/16(m-2)^4+4，则CN^2=1/16(m-2)^4+4；
根据题目中的条件：CD⊥MN，C（m,1/4m^2-m+1），则CD=1/4m^2-m+1；
根据勾股定理和结论：CD⊥MN，CD=1/4m^2-m+1，CN^2=1/16(m-2)^4+4，DN^2=CN^2-CD^2，则DN^2=4，即DN=2；
根据结论：DN=MN/2，DN=2，则MN=4；
所以，当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度不变，MN=4。
3、当△ABM与△ABN相似时，求出点M的坐标
根据题目中条件：A（2,0），B（2,2），则AB⊥MN；
根据题目中的条件：△ABM与△ABN相似，则△ABM∽△ABN或△ABM∽△ANB；
（1）当△ABM∽△ABN时
根据相似三角形的性质和题目中的条件：相似三角形的对应边成比例，△ABM∽△ABN，则AB/AB=AM/AN=1，即AM=AN；
根据垂径定理和结论：弦的垂直平分线经过圆心，AM=AN，AB⊥MN，则圆心C在AB上，即点C与点A重合；
根据题目中的条件和结论：点C与点A重合，A（2,0），则点C的坐标为（2,0）；
根据结论：C（2,0），B（2,2），则圆C的半径BC=2；
根据题目中的条件和结论：CM=BC，点M在x轴上，C（2,0），则点M的坐标为（0,0）。
（2）当△ABM∽△ANB，圆心C在点B的右侧时
根据相似三角形的性质和题目中的条件：相似三角形的对应边成比例，△ABM∽△ANB，则AB/AN=AM/AB；
设AM=x
根据结论：MN=4，AM=x，则AN=4+x；
根据题目中的条件：A（2,0），B（2,2），则AB=2；
根据结论：AB/AN=AM/AB，AB=2，AM=x，AN=4+x，则x(4+x)=4，可求得x=-2+2√2或-2-2√2；
根据题目中的条件：AM=x>0，则x=-2-2√2不符合条件，舍去；
根据结论：AM=x=-2+2√2，A（2,0），则点M的坐标为（2√2,0）。
（3）当△ABM∽△ANB，圆心C在点B的左侧时
设AM=x
根据结论：MN=4，AM=x，则AN=x-4；
根据结论：AB/AN=AM/AB，AB=2，AM=x，AN=x-4，则x(x-4)=4，可求得x=2+2√2或2-2√2；
根据题目中的条件：AM=x>MN，则x=2-2√2不符合条件，舍去；
根据结论：AM=x=2+2√2，A（2,0），则点M的坐标为（-2√2,0）。
所以，符合条件的点M的坐标为（0,0）、（2√2,0）、（-2√2,0）。
结语
解决本题的关键是设定点的坐标，利用两点间距离公式和勾股定理，求解弦的长度，再根据相似三角形对应边成比例，找到各种满足条件的对应边，设定边长为未知数进行求解，就能得到题目需要的值。
