「数论体系」——分解质因数 整除问题

一、知识点概要

1、质因数与分解质因数

（1）质因数：如果一个质数是某个数的因数，则就说这个质数是这个数的质因数。

（2）互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。

（3）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

（4）分解质因数的方法：短除法

2、部分特殊数的分解

11001＝7×11×13；11111＝41×271；10001＝73×137；10101＝3×7×13×37

3、常见数字的整除判定方法

（1）一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；

一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；

一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。

（2） 一个数各个数位上的数字和能被3整除，这个数就能被3整除；

一个数各个数位上的数字和能被9整除，这个数就能被9整除。

（3）如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除， 那么这个数能被11整除。

（4）如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除。

（5）如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有 偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数 字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。

4、整除性质

性质（1）如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除。即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)。

性质（2）如果数a能被数b整除，数b又能被数c整除，那么a也能被c整除。即如果b∣a，c∣b，那么c∣a。

性质（3）如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除。即如果bc∣a，那

么b∣a，c∣a。

性质（4）如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除。即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a。

性质（5）如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除。即如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）。

性质（6）如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除。即如果 b｜a，且d｜c ，那么bd｜ac。

知识点思维导

二、例题详解详细

1、分解质因数

点评；上述两个例题都需要对题中的数进行分解质因数之后，根据质因数的组成分析才能解答题目。

点评：例题（3）虽没有彻底地分解质因数，但是也是分解成几个因数相乘的形式之后再分析解题的。

2、整除问题

点评：例题（1）和例题（2）就是考察了特定数的倍数，根据这些倍数的特指去分析解题即可；例题（3）属于倍数关系的应用题，要能发现几个顾客买的商品的数量关系从而解答。