数论 质因数分解 试除法

AcWing 867. 分解质因数

由于我是我们队的数论选手，寒假刷题会略偏向于数论方面QWQ，在此记录 -01-11 刷题打卡~

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;void divide(int n) {for (int i = 2; i <= n / i; i++) {if(n % i == 0) {// i 一定是质数int s = 0;while( n % i == 0) {n /= i;s++;}printf("%d %d\n",i,s);}}// 对于任意一个正整数数n，最多只包含一个大于sqrt(n)的质因子// 利用质因数的这一性质，可以有效降低复杂度// 但是最后需要写一个判断，判断 n 是否为 1 // 如果 n > 1 ，则 n 确实有一个大于sqrt(n)的质因子if(n > 1) {printf("%d %d\n",n,1);}}int main() {int n;cin >> n;while (n--) {int num;cin >> num;divide(num);printf("\n");}return 0;}

知识点：

1.什么是质因数？

质因数（也称为素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。除了1以外，两个没有其他共同质因子的正整数称为互质。因为1没有质因子，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以用指数表示。根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。只有一个质因子的正整数为质数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数；而这个因数一定是一个质数。质因数就是一个数的约数，并且是质数。

2.质因数的一个很特殊的性质：也是优化试除法的关键所在

对于任意一个正整数数n， 最多只包含一个大于sqrt(n)的质因子

证明过程：

反证法，如果存在两个的话，这两个质因数相乘，结果必然大于n，与实际情况不符，因此只有一个。

3.关于判断质数的试除法，和质因数分解的试除法的比较：

判断质数的试除法，时间复杂度一定是 O(sqrt(n))

质因数分解的试除法，时间复杂度是介于 O(log n) ~ O(sqrt(n)) 之间的，例如：加入这个数是 2 ^ k ，是只用循环 k 次的。