中考数学专题系列三十四：勾股定理在折叠问题中的应用
作者 卜凡
初中数学中，有关折叠的问题也是相对比较难的问题，主要涉及求角的度数、求线段的长度、求周长、面积等，其中求线段的长度的问题必然用到勾股定理，而这也正是孩子们感觉到困难的地方，不知道借助哪个直角三角形运用勾股定理解决。下面借助例题和大家介绍这类题型的解题思路和方法。
例题1、如图,在三角形纸片ABC中,∠C=90°,AC=18,将∠A沿DE折叠,使点A与点B重合,折痕和AC交于点E,BC=12,则EC的长为多少？
分析：此题中共有4个直角三角形，分别是RT△ADE、RT△BDE、RT△BCE、RT△ACB，这4个直角三角形中，究竟选择哪个直角三角形解决问题呢？我们先把折叠前后的两个图形阴影，则剩下的空白直角三角形就是我们要选择的直角三角形。比如此题剩下的空白三角形就是RT△BCE，解决问题时就利用RT△BCE解决。在RT△BCE中，BC=12，BE、EC未知，但BE+EC=AE+EC=AC=18，所以可设EC为x，则BE=18-x，根据勾股定理得到x+ 12=(18-x) ,解这个方程得到x=5，所以EC的长为5。
先把折痕加以改变，是不是还运用RT△BCE解决问题呢？例题2、如图,在三角形纸片ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5，将直角边BC沿BE折叠,使它落在斜边AB上且与BD重合,折痕和AC交于点E,则EC的长为多少？
分析：此题中还是共有4个直角三角形，分别是RT△ADE、RT△BDE、RT△BCE、RT△ACB，与例题1一样，我们先把折叠前后的两个图形阴影，这样就分别阴影了RT△BDE、RT△BCE，则剩下的空白直角三角形RT△ADE就是我们要选择的直角三角形。在RT△ADE中，AD可求，为8，AE、DE的和为12，所以可设DE为x，则AE=12-x，根据勾股定理得到x+8=(12-x) ,解这个方程得到x=10/3，所以DE的长为10/3，又根据折叠知道DE=EC，所以EC的长为10/3。
通过两个简单的例题想必大家已经明白了应该选择哪个直角三角形解决问题了吧？那就是先把折叠前后的两个图形阴影，从剩下的空白图形中找直角三角形，所找到的直角三角形就是解决问题所用的直角三角形。下面不妨运用一下此解题思路和方法。
练习、如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD=8，AB=4，则DE的长为多少？
分析：先把折叠前后的两个图形△BCD和△BCD阴影，结果发现在左上角有一空白直角三角形△ABE，最后肯定是利用此三角形的三边关系，即勾股定理解决问题。在RT△ABE中，AB=4，AE、BE未知，如果AE、BE有关系，也能使问题解决。由已知折叠可得到∠CBD=∠CBD，矩形ABCD可得到AD∥BC，所以∠CBD=∠ADB，所以∠CBD=∠ADB，所以BE=DE，所以AE+BE=AE+DE=AD=8，所以，若设DE=x,则AE=8-x,所以，根据勾股定理得到（8-x）+4=x，解这个方程得x=5，所以DE的长为5.
我们发现，解题思路和方法是关键，只要有了正确的思路和方法，把几何问题转化成方程即可使问题解决。现在的你解题思路清晰了吗
