中考数学专题系列三十：用等面积法解决三角形中的动点问题
作者卜凡
在初中数学中经常遇到动点、动线、动图形的问题，这类题型不但对初学的孩子们来说是个难点，就是对即将参加中考的孩子们来说也是一个难点，所以寻找突破难点的方法成为了重中之重，今天给大家介绍的等面积法就是在这种形势下应运而生的。
先看例题，例题1、点P是等边三角形ABC的一边BC上一动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，试问：PD+PE的长是否随点P的位置变化而变化?
分析:连接AP,作CH⊥AB于点H，则S△ABP=1/2AB×PD,S△ACP=1/2AC×PE,所以S△ABC=S△ABPS△ACP=1/2AB×PD＋1/2AC×PE,因为△ABC是等边三角形,所以AB=BC=AC,所以S△ABC=S△ABP＋S△ACP=1/2AB×PD＋1/2AC×PE=1/2AB×PD＋1/2AB×PE=1/2AB(PD＋PE),又因为S△ABC=1/2AB×CH,所以,PD＋PE=CH.所以PD+PE的长等于等边三角形的高，不随点P的位置变化而变化。
如果点P在等边三角形内呢?例题2、点P是等边三角形ABC内任意一点，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，试问:PD+PE+PF的长是否随点P的位置变化而变化?
分析:连接AP、BP、CP，作CH⊥AB于点H，则S△ABP=1/2AB×PE,S△ACP=1/2AC×PF,S△BCP=1/2BC×PD,所以S△ABC=S△ABP＋S△ACP+S△BCP=1/2AB×PE＋1/2AC×PF+1/2BC×PD,因为△ABC是等边三角形,所以AB=BC=AC,所以S△ABC=S△ABP＋S△ACP+S△BCP=1/2AB×PE＋1/2AC×PF+1/2BC×PD=1/2AB(PD＋PE+PF),又因为S△ABC=1/2AB×CH,所以,PD＋PE+PF=CH.所以PD+PE+PF的长等于等边三角形的高，不随点P的位置变化而变化。
如果把等边三角形改为等腰三角形呢?例题3、点P是等腰三角形ABC的底边BC上任意一点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，试问：(1)PD+PE的长是否随点P的位置变化而变化?
分析：连接AP,作CH⊥AB于点H，则S△ABP=1/2AB×PD,S△ACP=1/2AC×PE,所以S△ABC=S△ABP＋S△ACP=1/2AB×PD＋1/2AC×PE,因为△ABC是等腰三角形,所以AB=AC,所以S△ABC=S△ABP＋S△ACP=1/2AB×PD＋1/2AC×PE=1/2AB×PD＋1/2AB×PE=1/2AB(PD＋PE),又因为S△ABC=1/2AB×CH,所以,PD＋PE=CH.所以PD+PE的长等于等腰三角形一腰上的高CH，不随点P的位置变化而变化。
(2)如果点P在线段BC的延长线上移动时,(1)中的结论是否成立?(3)如果点P在线段BC的反向延长线上移动时,(1)中的结论是否成立?
分析(2)：连接AP,作CH⊥AB于点H，则S△ABP=1/2AB×PD,S△ACP=1/2AC×PE,所以S△ABC=S△ABP-S△ACP=1/2AB×PD-1/2AC×PE,因为△ABC是等腰三角形,所以AB=AC,所以S△ABC=S△ABP-S△ACP=1/2AB×PD-1/2AC×PE=1/2AB×PD-1/2AB×PE=1/2AB(PD-PE),又因为S△ABC=1/2AB×CH,所以,PD-PE=CH.所以(1)中的结论不成立
分析(3)：连接AP,作CH⊥AB于点H，则S△ABP=1/2AB×PD,S△ACP=1/2AC×PE,所以S△ABC=S△ACP-S△ABP=1/2AC×PE-1/2AB×PD,因为△ABC是等腰三角形,所以AB=AC,所以S△ABC=S△ACP-S△ABP=1/2AC×PE-1/2AB×PD=1/2AB(PE-PD),又因为S△ABC=1/2AB×CH,所以,PE-PD=CH.所以(1)中的结论不成立。
说明：等面积法是解决这类题目的方法之一，也比较简单，建议采用。
