矩阵之间能够进行加法运算的前提条件是：各矩阵的行数和列数必须相等。
在行数和列数都相等的情况下，矩阵相加的结果就是矩阵中对应位置的值相加所组成的矩阵，例如：
采用链式存储结构存储稀疏矩阵三元组的方法，称为“十字。
十字链表法表示矩阵
例如，用十字链表法表示矩阵 A ，为：
图2 矩阵用十字链表法表示
由此可见，采用十字链表表示矩阵时，矩阵的每一行和每一个列都可以看作是一个单独的链表，而之所以能够表示矩阵，是因为行链表和列链表都分别存储在各自的
图 2 中：存储行链表的数组称为rhead 数组；存储列链表的数组称为chead 数组。
十字链表中的结点
从图2中的十字链表表示矩阵的例子可以看到，十字链表中的结点由 5 部分组成：
图3 十字链表中的结点
指针域A存储的是矩阵中结点所在列的下一个结点的地址(称为“down域”)；
指针域B存储的是矩阵中该结点所在行的下一个结点的地址(称为“right域”)；
用结构体自定义表示为：
typedef struct OLNode
{
int i,j,e; //矩阵三元组 i 代表行 j 代表列 e 代表当前位置的数据
struct OLNode *right,*down; //指针域 右指针 下指针
}OLNode,*OLink;
十字链表的结构
使用十字链表表示一个完整的矩阵，在了解矩阵中各结点的结构外，还需要存储矩阵的行数、列数以及非 0 元素的个数，另外，还需要将各结点链接成的链表存储在数组中。
所以，采用结构体自定义十字链表的结构，为：
typedef struct
{
OLink *rhead,*chead; //存放各行和列链表头指针的数组
int mu,nu,tu; //矩阵的行数,列数和非零元的个数
}CrossList;
十字链表存储矩阵三元组
由于三元组存储的是该数据元素的行标、列标和数值，所以，通过行标和列标，就能在十字链表中唯一确定一个位置。
判断方法为：在同一行中通过列标来判断位置；在同一列中通过行标来判断位置。
首先判断该数据元素 A(例如三元组为：(i，j，k))所在行的具体位置：
如果 A 的列标 j 值比该行第一个非 0 元素 B 的 j 值小，说明该数据元素在元素 B 的左侧，这时 A 就成为了该行第一个非0元素(也适用于当该行没有非 0 元素的情况，可以一并讨论)
如果 A 的列标 j 比该行第一个非 0 元素 B 的 j 值大，说明 A 在 B 的右侧，这时，就需要遍历该行链表，找到插入位置的前一个结点，进行插入。
对应行链表的位置确定之后，判断数据元素 A 在对应列的位置：
如果 A 的行标比该列第一个非 0 元素 B 的行标 i 值还小，说明 A 在 B 的上边，这时 A 就成了该列第一个非 0 元素。(也适用于该列没有非 0 元素的情况)
反之，说明 A 在 B 的下边，这时就需要遍历该列链表，找到要插入位置的上一个数据元素，进行插入。
实现代码：
//创建系数矩阵M,采用十字链表存储表示
CrossList CreateMatrix_OL(CrossList M)
{
int m,n,t;
int i,j,e;
OLNode *p,*q;//定义辅助变量
scanf("%d%d%d",&m,&n,&t); //输入矩阵的行列及非零元的数量
//初始化矩阵的行列及非零元的数量
M.mu=m;
M.nu=n;
M.tu=t;
if(!(M.rhead=(OLink*)malloc((m+1)*sizeof(OLink)))||!(M.chead=(OLink*)malloc((n+1)*sizeof(OLink))))
{
printf("初始化矩阵失败");
exit(0); //初始化矩阵的行列链表
}
for(i=1;i<=m;i++)
{
M.rhead[i]=NULL; //初始化行
}
for(j=1;j<=n;j++)
{
M.chead[j]=NULL; //初始化列
}
for(scanf("%d%d%d",&i,&j,&e);0!=i;scanf("%d%d%d",&i,&j,&e)) //输入三元组 直到行为0结束
{
if(!(p=(OLNode*)malloc(sizeof(OLNode))))
{
printf("初始化三元组失败");
exit(0); //动态生成p
}
p->i=i;
p->j=j;
p->e=e; //初始化p
if(NULL==M.rhead[i]||M.rhead[i]->j>j)
{
p->right=M.rhead[i];
M.rhead[i]=p;
}
else
{
for(q=M.rhead[i];(q->right)&&q->right->jright);
p->right=q->right;
q->right=p;
}
if(NULL==M.chead[j]||M.chead[j]->i>i)
{
p->down=M.chead[j];
M.chead[j]=p;
}
else
{
for (q=M.chead[j];(q->down)&& q->down->idown);
p->down=q->down;
q->down=p;
}
}
return M;
}
十字链表解决矩阵相加问题
在解决 “将矩阵 B 加到矩阵 A ” 的问题时，由于采用的是十字链表法存储矩阵的三元组，所以在相加的过程中，针对矩阵 B 中每一个非 0 元素，需要判断在矩阵 A 中相对应的位置，有三种情况：
提取到的 B 中的三元组在 A 相应位置上没有非 0 元素，此时直接加到矩阵 A 该行链表的对应位置上；
提取到的 B 中三元组在 A 相应位置上有非 0 元素，且相加不为 0 ，此时只需要更改 A 中对应位置上的三元组的值即可；
提取到的 B 中三元组在 A 响应位置上有非 0 元素，但相加为 0 ，此时需要删除矩阵 A 中对应结点。
提示：算法中，只需要逐个提取矩阵 B 中的非 0 元素，然后判断矩阵 A 中对应位置上是否有非 0 元素，根据不同的情况，相应作出处理。
设指针 pa 和 pb 分别表示矩阵 A 和矩阵 B 中同一行中的结点( pb 和 pa 都是从两矩阵的第一行的第一个非0元素开始遍历)，针对上面的三种情况，细分为 4 种处理过程(第一种情况下有两种不同情况)：
当 pa 结点的列值 j > pb 结点的列值 j 或者 pa == NULL (说明矩阵 A 该行没有非 0 元素)，两种情况下是一个结果，就是将 pb 结点插入到矩阵 A 中。
当 pa 结点的列值 j < pb 结点的列值 j ，说明此时 pb 指向的结点位置比较靠后，此时需要移动 pa 的位置，找到离 pb 位置最近的非 0 元素，然后在新的 pa 结点的位置后边插入；
当 pa 的列值 j == pb 的列值 j， 且两结点的值相加结果不为 0 ，只需要更改 pa 指向的结点的值即可；
当 pa 的列值 j == pb 的列值 j ，但是两结点的值相加结果为 0 ，就需要从矩阵 A 的十字链表中删除 pa 指向的结点。
实现代码：
CrossList AddSMatrix(CrossList M,CrossList N){
OLNode * pa,*pb;//新增的两个用于遍历两个矩阵的结点
OLink * hl=(OLink*)malloc(M.nu*sizeof(OLink));//用于存储当前遍历的行为止以上的区域每一个列的最后一个非0元素的位置。
OLNode * pre=NULL;//用于指向pa指针所在位置的此行的前一个结点
//遍历初期，首先要对hl数组进行初始化，指向每一列的第一个非0元素
for (int j=1; j<=M.nu; j++) {
hl[j]=M.chead[j];
}
//按照行进行遍历
for (int i=1; i<=M.mu; i++) {
//遍历每一行以前，都要pa指向矩阵M当前行的第一个非0元素；指针pb也是如此，只不过遍历对象为矩阵N
pa=M.rhead[i];
pb=N.rhead[i];
//当pb为NULL时，说明矩阵N的当前行的非0元素已经遍历完。
while (pb!=NULL) {
//创建一个新的结点，每次都要复制一个pb结点，但是两个指针域除外。(复制的目的就是排除指针域的干扰)
OLNode * p=(OLNode*)malloc(sizeof(OLNode));
p->i=pb->i;
p->j=pb->j;
p->e=pb->e;
p->down=NULL;
p->right=NULL;
//第一种情况
if (pa==NULL||pa->j>pb->j) {
//如果pre为NULL，说明矩阵M此行没有非0元素
if (pre==NULL) {
M.rhead[p->i]=p;
}else{//由于程序开始时pre肯定为NULL，所以，pre指向的是第一个p的位置，在后面的遍历过程中，p指向的位置是逐渐向后移动的，所有，pre肯定会在p的前边
pre->right=p;
}
p->right=pa;
pre=p;
//在链接好行链表之后，链接到对应列的列链表中的相应位置
if (!M.chead[p->j]||M.chead[p->j]->i>p->i) {
p->down=M.chead[p->j];
M.chead[p->j]=p;
}else{
p->down=hl[p->j]->down;
hl[p->j]->down=p;
}
//更新hl中的数据
hl[p->j]=p;
}else{
//第二种情况，只需要移动pa的位置，继续判断pa和pb的位置，一定要有continue
if (pa->jj) {
pre=pa;
pa=pa->right;
continue;
}
//第三、四种情况，当行标和列标都想等的情况下，需要讨论两者相加的值的问题
if (pa->j==pb->j) {
pa->e+=pb->e;
//如果为0，摘除当前结点，并释放所占的空间
if (pa->e==0) {
if (pre==NULL) {
M.rhead[pa->i]=pa->right;
}else{
pre->right=pa->right;
}
p=pa;
pa=pa->right;
if (M.chead[p->j]==p) {
M.chead[p->j]=hl[p->j]=p->down;
}else{
hl[p->j]->down=p->down;
}
free(p);
}
}
}
pb=pb->right;
}
}
//用于输出矩阵三元组的功能函数
display(M);
return M;
}
完整代码演示
#include
#include
typedef struct OLNode
{
int i,j,e; //矩阵三元组i代表行 j代表列 e代表当前位置的数据
struct OLNode *right,*down; //指针域 右指针 下指针
}OLNode,*OLink;
typedef struct
{
OLink *rhead,*chead; //行和列链表头指针
int mu,nu,tu; //矩阵的行数,列数和非零元的个数
}CrossList;
CrossList CreateMatrix_OL(CrossList M);
CrossList AddSMatrix(CrossList M,CrossList N);
void display(CrossList M);
void main()
{
CrossList M,N;
printf("输入测试矩阵M:\n");
M=CreateMatrix_OL(M);
printf("输入测试矩阵N:\n");
N=CreateMatrix_OL(N);
M=AddSMatrix(M,N);
printf("矩阵相加的结果为:\n");
display(M);
}
CrossList CreateMatrix_OL(CrossList M)
{
int m,n,t;
int i,j,e;
OLNode *p,*q;
scanf("%d%d%d",&m,&n,&t);
M.mu=m;
M.nu=n;
M.tu=t;
if(!(M.rhead=(OLink*)malloc((m+1)*sizeof(OLink)))||!(M.chead=(OLink*)malloc((n+1)*sizeof(OLink))))
{
printf("初始化矩阵失败");
exit(0);
}
for(i=1;i<=m;i++)
{
M.rhead[i]=NULL;
}
for(j=1;j<=n;j++)
{
M.chead[j]=NULL;
}
for(scanf("%d%d%d",&i,&j,&e);0!=i;scanf("%d%d%d",&i,&j,&e)) {
if(!(p=(OLNode*)malloc(sizeof(OLNode))))
{
printf("初始化三元组失败");
exit(0);
}
p->i=i;
p->j=j;
p->e=e;
if(NULL==M.rhead[i]||M.rhead[i]->j>j)
{
p->right=M.rhead[i];
M.rhead[i]=p;
}
else
{
for(q=M.rhead[i];(q->right)&&q->right->jright);
p->right=q->right;
q->right=p;
}
if(NULL==M.chead[j]||M.chead[j]->i>i)
{
p->down=M.chead[j];
M.chead[j]=p;
}
else
{
for (q=M.chead[j];(q->down)&& q->down->idown);
p->down=q->down;
q->down=p;
}
}
return M;
}
CrossList AddSMatrix(CrossList M,CrossList N){
OLNode * pa,*pb;
OLink * hl=(OLink*)malloc(M.nu*sizeof(OLink));
OLNode * pre=NULL;
for (int j=1; j<=M.nu; j++) {
hl[j]=M.chead[j];
}
for (int i=1; i<=M.mu; i++) {
pa=M.rhead[i];
pb=N.rhead[i];
while (pb!=NULL) {
OLNode * p=(OLNode*)malloc(sizeof(OLNode));
p->i=pb->i;
p->j=pb->j;
p->e=pb->e;
p->down=NULL;
p->right=NULL;
if (pa==NULL||pa->j>pb->j) {
if (pre==NULL) {
M.rhead[p->i]=p;
}else{
pre->right=p;
}
p->right=pa;
pre=p;
if (!M.chead[p->j]||M.chead[p->j]->i>p->i) {
p->down=M.chead[p->j];
M.chead[p->j]=p;
}else{
p->down=hl[p->j]->down;
hl[p->j]->down=p;
}
hl[p->j]=p;
}else{
if (pa->jj) {
pre=pa;
pa=pa->right;
continue;
}
if (pa->j==pb->j) {
pa->e+=pb->e;
if (pa->e==0) {
if (pre==NULL) {
M.rhead[pa->i]=pa->right;
}else{
pre->right=pa->right;
}
p=pa;
pa=pa->right;
if (M.chead[p->j]==p) {
M.chead[p->j]=hl[p->j]=p->down;
}else{
hl[p->j]->down=p->down;
}
free(p);
}
}
}
pb=pb->right;
}
}
display(M);
return M;
}
void display(CrossList M){
printf("输出测试矩阵:\n");
printf("M:\n---------------------\ni\tj\te\n---------------------\n");
for (int i=1;i<=M.nu;i++)
{
if (NULL!=M.chead[i])
{
OLink p=M.chead[i];
while (NULL!=p)
{
printf("%d\t%d\t%d\n",p->i,p->j,p->e);
p=p->down;
}
}
}
}
运行结果：
输入测试矩阵M:
3 3 3
1 2 1
2 1 1
3 3 1
0 0 0
输入测试矩阵N:
3 3 4
1 2 -1
1 3 1
2 3 1
3 1 1
0 0 0
矩阵相加的结果为:
输出测试矩阵:
M:
---------------------
i j e
---------------------
2 1 1
3 1 1
1 3 1
2 3 1
3 3 1
总结
使用十字链表法解决稀疏矩阵的压缩存储的同时，在解决矩阵相加的问题中，对于某个单独的结点来说，算法的
