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计算机控制技术第二章Z变换及Z传递函数

第2章 Z变换及Z传递函数 2.1 Z变换定义与常用函数Z变换 2.1.1 Z变换的定义 已知连续信号f(t)经过来样周期为T的采样开关后，变成离散的脉冲序列函数f *(t)即采样信号。 对上式进行拉氏变换，则 对上式进行拉氏变换，则 根据广义脉冲函数的性质，可得： 上式中，F*(s)是离散时间函数f *(t)的拉氏变换，因复变量s含在指数e-kTs中是超越函数不便于计算，故引一个新变量z=eTs，设 并将F*(s)记为F(z)则 式中F(z)就称为离散函数f *(t)的Z变换。 在Z变换的过程中，由于仅仅考虑的是f(t)在采样瞬间的状态，所以上式只能表征连续时间函数f(t)在采样时刻上的特性，而不能反映两个采样时刻之间的特性，从这个意义上来说，连续时间函数f(t)与相应的离散时间函数f *(t)具有相同的Z变换。即 求取离散时间函数的Z变换有多种方法，常用的有两种。 1．级数求和法 将离散时间函数写成展开式的形式 对上式取拉氏变换，得 例2.1 求f(t)=at/T 函数(a为常数)的Z变换。 解：根据Z变换定义有 2．部分分式法 设连续时间函数的拉氏变换为有理函数，将展开成部分分式的形式为 因此，连续函数的Z变换可以由有理函数求出 例2.2 已知 (a为常数) 求F(Z) 解：将F(s)写成部分分式之和的形式 2.1.2 常用信号的Z变换 1．单位脉冲信号 2.2 Z变换的性质和定理 2．滞后定理 设连续时间函数在t＜0时，f(t)=0，且f(t)的Z变换为F(z)，则有 证明： 3．超前定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有 证明： 4．初值定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有 证明： 所以 5．终值定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有 证明： 6．卷积和定理 设连续时间函数f(t)和g(t)的Z变换分别为F(z)及G(z)，若定义 则 证明： 由于当i >k时 7．求和定理 设连续时间函数f(t)和g(t)的Z变换分别为F(z)及G(z)，若有 则 证明： 8．位移定理 设a为任意常数，连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有 证明： 9．微分定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有 证明： 2.3 Z反变换 所谓Z反变换，是已知Z变换表达式F(z)，求相应离散序列f(kT)或f*(t)的过程，表示为 Z反变换主要有三种方法，即长除法、部分分式法和留数计算法 1．长除法 设 用长除法展开得： 由Z变换定义得： 比较两式得： 则： 2．部分分式法 又称查表法 ，设已知的Z变换函数F(z)无重极点，先求出F(z)的极点，再将F(z)展开成如下分式之和 然后逐项查Z变换表，得到 则： 3．留数法 设已知Z变换函数F(z)，则可证明，F(z)的Z反变换f(kT)值，可由下式计算 根据柯西留数定理，上式可以表示为 n表示极点个数，pi表示第i个极点。即f(kT)等于F(z)zk-1的全部极点的留数之和。 即： 2.5 线性定常离散系统的差分方程及其解 对于单输入、单输出的计算机控制系统，设在某一采样时刻的输出为y(kT)， 输入为u(kT)，为了书写方便，用y(k)表示y(kT)，用u(k)表示u(kT)。 在某一采样时刻的输出值y(k)不但与该时刻的输入u(k)及该时刻以前的输入值u(k-1)，u(k-2)，…，u(k-m)有关，且与该时刻以前的输出值y (k-1)，y (k-2)，…，y(k-n)有关，即： 或 上式称为n阶线性定常离散系统的差分方程，其中ai、bi由系统结构参数决定，它是描述计算机控制系统的数学模型的一般表达式，对于实际的应用系统，根据物理可实现条件，应有k≥0。当k＜0时，y(k)=u(k)=0。 用Z变换解常系数线性差分方程和用拉氏变换解微分方程是类似的。先将差分方程变换为以z为变量的代数方程，最后用查表法或其它方法，求出Z反变换。 若当k＜0时，f(k)=0，设f(k)的Z变换为F(z)，则根据滞后定理关系可推导出 例2.8 若某二阶离散系统的差分方程为： 设输入为单位阶跃序列。 解：对差分方程求Z变换得 取Z反变换得 2.6 Z传递函数 2.6.1 Z传递函数的定义 设n阶定常离散系统的差分方程为： 在零初始条件下，取Z变换 则G(z)就称为线性定常离散系统的Z传递函数。即：