目录

〇、相关知识铺垫0.1 拉氏变换0.2 部分分式展开法0.3 长除法0.4 常用的一些级数求和0.5 留数0.6 叠分的概念 一、Z变换概念二、Z变换方法2.1 级数求和法2.2 部分分式展开法2.3 留数法 三、Z变换的基本性质和定理3.1 线性性3.2 超前定理3.3 迟滞定理3.4 初值定理3.5 终值定理3.6 复位移定理3.7 复微分定理3.8 复积分定理3.9 叠分定理3.10 卷积定理 四、Z反变换方法4.1 长除法4.2 部分分式展开法4.3 留数法 五、扩展Z变换5.1 概念5.2 定义5.3 一些结论

〇、相关知识铺垫

后面从第一章是正片开始，用到的相关知识写在这里，如果有需要可翻来查看。如不需要请直接跳到第一章开始正文。

0.1 拉氏变换

传送门：拉氏变换

【本文在第一章出现“拉氏变换”】

0.2 部分分式展开法

设 f ( x ) f(x) f(x) 为有理函数，且有 f ( x ) = P ( x ) Q ( x ) = ∏ i = 1 m ( x − x i ) r ∏ j = 1 n ( x − x j ) s f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{\prod\limits_{i=1}^{m}\left(x-x_i\right)^r}{\prod\limits_{j=1}^{n}\left(x-x_j\right)^s} f(x)=Q(x)P(x)​=j=1∏n​(x−xj​)si=1∏m​(x−xi​)r​那么， f ( x ) f(x) f(x) 可以分解为： f ( x ) = ∑ P k − 1 ( x ) ( x − x i ) k f(x)=\sum\frac{P_{k-1}(x)}{(x-x_i)^k} f(x)=∑(x−xi​)kPk−1​(x)​【本文在2.2节出现“部分分式展开法”】

0.3 长除法

就是小学我们学过的除法，只不过现在我们要推广到多项式中，如：

【本文在4.1节出现“长除法”】

0.4 常用的一些级数求和

∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 − x ( ∣ x ∣ < 1 ) \sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x} \space\space\space \left(|x|<1\right) n=0∑∞​xn=1−x1​(∣x∣<1) ∑ n = 0 ∞ x n n ! = e x \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}={\rm e}^x n=0∑∞​n!xn​=ex ∑ n = 0 ∞ x n + 1 n + 1 = − ln ⁡ ( 1 − x ) \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}=-\ln{(1-x)} n=0∑∞​n+1xn+1​=−ln(1−x) ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = sin ⁡ x \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sin{x} n=0∑∞​(2n+1)!(−1)nx2n+1​=sinx ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! = cos ⁡ x \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}=\cos x n=0∑∞​(2n)!(−1)nx2n​=cosx

【本文在2.1节出现“级数求和”】

0.5 留数

复变函数中的一个概念，在这里我们不展开详细说了，用到的公式很简单，在文章里用到的地方已经给出，直接套用即可。（如果把留数展开讲那得讲整个复变函数积分了。。。。所以咱们这里只用结论）【本文在2.3节出现“留数”】

0.6 叠分的概念

离散域中的“叠分”，类似于连续域中的“积分”，定义为 ∑ i = 1 n f ( i ) \sum\limits_{i=1}^{n}f(i) i=1∑n​f(i)

【本文在3.9节出现“叠分”】

一、Z变换概念

如果一个函数 f ( t ) f(t) f(t) 可以做拉氏变换，则根据定义，有： F ( s ) = L [ f ( t ) ] = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − s t d t F(s)={\mathcal L}[f(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t){\rm e}^{-st}dt F(s)=L[f(t)]=∫−∞+∞​f(t)e−stdt设采样时间间隔为 T T T，则采样函数表示为： f ∗ ( t ) = ∑ k = 0 ∞ f ( k T ) δ ( t − k T ) f^*(t)=\sum_{k=0}^{\infty}f(kT)\delta(t-kT) f∗(t)=k=0∑∞​f(kT)δ(t−kT)对采样函数进行拉氏变换，得： F ∗ ( s ) = L [ f ∗ ( t ) ] = ∫ − ∞ + ∞ f ∗ ( t ) e − s t d t F^*(s)={\mathcal L}[f^*(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}f^*(t){\rm e}^{-st}dt F∗(s)=L[f∗(t)]=∫−∞+∞​f∗(t)e−stdt F ∗ ( s ) = ∫ − ∞ + ∞ [ ∑ k = 0 ∞ f ( k T ) δ ( t − k T ) ] e − s t d t = ∑ k = 0 ∞ f ( k T ) [ ∫ − ∞ + ∞ δ ( t − k T ) e − s t d t ] F^*(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\sum_{k=0}^{\infty}f(kT)\delta(t-kT)\right]{\rm e}^{-st}dt=\sum_{k=0}^{\infty}f(kT)\left[\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-kT){\rm e}^{-st}dt\right] F∗(s)=∫−∞+∞​[k=0∑∞​f(kT)δ(t−kT)]e−stdt=k=0∑∞​f(kT)[∫−∞+∞​δ(t−kT)e−stdt] F ∗ ( s ) = [ ∑ k = 0 ∞ f ( k T ) ] L [ δ ( t − k T ) ] = ∑ k = 0 ∞ f ( k T ) e − s k T F^*(s)=\left[\sum_{k=0}^{\infty}f(kT)\right]{\mathcal L}\left[\delta(t-kT)\right]=\sum_{k=0}^{\infty}f(kT){\rm e}^{-skT} F∗(s)=[k=0∑∞​f(kT)]L[δ(t−kT)]=k=0∑∞​f(kT)e−skT令 z = e s T z={\rm e}^{sT} z=esT，则： F ( z ) = ∑ k = 0 ∞ f ( k T ) z − k F(z)=\sum_{k=0}^{\infty}f(kT)z^{-k} F(z)=k=0∑∞​f(kT)z−k这就是Z变换的定义式。记作： F ( z ) = Z [ f ( t ) ] = ∑ k = 0 ∞ f ( k T ) z − k F(z)={\mathcal Z}\left[f(t)\right]=\sum_{k=0}^{\infty}f(kT)z^{-k} F(z)=Z[f(t)]=k=0∑∞​f(kT)z−k

Z变换定义式具有明显的意义。它表示第 k k k 次采样时，信号强度为 f ( k T ) f(kT) f(kT)。所谓 “第 k k k 个采样时刻”，指的是相对初始时刻滞后 k k k 拍。（这个意义在第四章4.1节会用到）

常用 Z 变换表：

二、Z变换方法

2.1 级数求和法

求指数衰减函数

f ( t ) = { 0 , t < 0 e − a t , t ≥ 0 f(t)= \left\{ \begin{array}{c} 0,\space t<0 \\ {\rm e}^{-at},\space t\geq0 \\ \end{array} \right. f(t)={0,t<0e−at,t≥0​的Z变换。

解： F ( z ) = ∑ k = 0 ∞ f ( k T ) z − k = ∑ k = 0 ∞ e − a k T z − k F(z)=\sum_{k=0}^{\infty}f(kT)z^{-k}=\sum_{k=0}^{\infty}{\rm e}^{-akT}z^{-k} F(z)=k=0∑∞​f(kT)z−k=k=0∑∞​e−akTz−k

F ( z ) = 1 + e − a T z − 1 + e − 2 a T z − 2 + ⋯ + e − a n T z − n + ⋯ F(z)=1+{\rm e}^{-aT}z^{-1}+{\rm e}^{-2aT}z^{-2}+\cdots+{\rm e}^{-anT}z^{-n}+\cdots F(z)=1+e−aTz−1+e−2aTz−2+⋯+e−anTz−n+⋯

e − a T z − 1 F ( z ) = e − a T z − 1 + e − 2 a T z − 2 + e − 3 a T z − 3 + ⋯ + e − a ( n + 1 ) T z − ( n + 1 ) + ⋯ {\rm e}^{-aT}z^{-1}F(z)={\rm e}^{-aT}z^{-1}+{\rm e}^{-2aT}z^{-2}+{\rm e}^{-3aT}z^{-3}+\cdots+{\rm e}^{-a(n+1)T}z^{-(n+1)}+\cdots e−aTz−1F(z)=e−aTz−1+e−2aTz−2+e−3aTz−3+⋯+e−a(n+1)Tz−(n+1)+⋯

相减，得： ( 1 − e − a T z − 1 ) F ( z ) = 1 \left(1-{\rm e}^{-aT}z^{-1}\right)F(z)=1 (1−e−aTz−1)F(z)=1于是： F ( z ) = 1 1 − e − a T z − 1 F(z)=\frac{1}{1-{\rm e}^{-aT}z^{-1}} F(z)=1−e−aTz−11​

2.2 部分分式展开法

举例：求 F ( s ) = s + a ( s + b ) 2 ( s + c ) F(s)=\frac{s+a}{(s+b)^2(s+c)} F(s)=(s+b)2(s+c)s+a​的 z z z 变换 F ( z ) F(z) F(z)。

解： F ( s ) = A ( s + b ) 2 + B s + b + C s + c F(s)=\frac{A}{(s+b)^2}+\frac{B}{s+b}+\frac{C}{s+c} F(s)=(s+b)2A​+s+bB​+s+cC​

两边同乘以 ( s + b ) 2 (s+b)^2 (s+b)2，得： ( s + b ) 2 F ( s ) = A + B ( s + b ) + C ( s + b ) 2 s + c (s+b)^2F(s)=A+B(s+b)+\frac{C(s+b)^2}{s+c} (s+b)2F(s)=A+B(s+b)+s+cC(s+b)2​即： s + a s + c = A + B ( s + b ) + C ( s + b ) 2 s + c \frac{s+a}{s+c}=A+B(s+b)+\frac{C(s+b)^2}{s+c} s+cs+a​=A+B(s+b)+s+cC(s+b)2​令 s = − b s = -b s=−b，得： A = a − b c − b A=\frac{a-b}{c-b} A=c−ba−b​同理，两边同乘以 s + c s+c s+c，得： ( s + c ) F ( s ) = s + a ( s + b ) 2 = A ( s + c ) ( s + b ) 2 + B ( s + c ) s + b + C (s+c)F(s)=\frac{s+a}{(s+b)^2}=\frac{A(s+c)}{(s+b)^2}+\frac{B(s+c)}{s+b}+C (s+c)F(s)=(s+b)2s+a​=(s+b)2A(s+c)​+s+bB(s+c)​+C令 s = − c s=-c s=−c，得： C = a − c ( b − c ) 2 C=\frac{a-c}{(b-c)^2} C=(b−c)2a−c​ 再令 s = 0 s=0 s=0，得： B = a b c − a − b b ( c − b ) − b ( a − c ) c ( b − c ) 2 = a c 2 + b 2 c − 2 a b c − b 2 + a b + b c − a c b c ( c − b ) 2 B=\frac{a}{bc}-\frac{a-b}{b(c-b)}-\frac{b(a-c)}{c(b-c)^2}=\frac{ac^2+b^2c-2abc-b^2+ab+bc-ac}{bc(c-b)^2} B=bca​−b(c−b)a−b​−c(b−c)2b(a−c)​=bc(c−b)2ac2+b2c−2abc−b2+ab+bc−ac​所以 F ( s ) F(s) F(s) 的 Z Z Z 变换为： F ( z ) = a − b c − b T e − b T z − 1 ( 1 − e − b T z − 1 ) 2 + a c 2 + b 2 c − 2 a b c − b 2 + a b + b c − a c b c ( c − b ) 2 1 1 − e − b T z − 1 + a − c ( b − c ) 2 1 1 − e − c T z − 1 F(z)=\frac{a-b}{c-b}\frac{T{\rm e}^{-bT}z^{-1}}{(1-{\rm e}^{-bT}z^{-1})^2}+\frac{ac^2+b^2c-2abc-b^2+ab+bc-ac}{bc(c-b)^2}\frac{1}{1-{\rm e}^{-bT}z^{-1}}+\frac{a-c}{(b-c)^2}\frac{1}{1-{\rm e}^{-cT}z^{-1}} F(z)=c−ba−b​(1−e−bTz−1)2Te−bTz−1​+bc(c−b)2ac2+b2c−2abc−b2+ab+bc−ac​1−e−bTz−11​+(b−c)2a−c​1−e−cTz−11​

2.3 留数法

设 F ( s ) F(s) F(s) 有若干 m 个不同极点 s i s_i si​，则： F ( z ) = ∑ i = 1 m R e s [ F ( s i ) z z − e s i T ] F(z)=\sum_{i=1}^m{\rm Res}\left[F(s_i)\frac{z}{z-{\rm e}^{s_iT}}\right] F(z)=i=1∑m​Res[F(si​)z−esi​Tz​]其中，对于单极点的 s i s_i si​： R e s [ F ( s i ) z z − e s i T ] = [ ( s − s i ) F ( s ) z z − e s T ] s = s i {\rm Res}\left[F(s_i)\frac{z}{z-{\rm e}^{s_iT}}\right]=\left[(s-s_i)F(s)\frac{z}{z-{\rm e}^{sT}}\right]_{s=s_i} Res[F(si​)z−esi​Tz​]=[(s−si​)F(s)z−esTz​]s=si​​对于 n n n 重极点的 s i s_i si​： R e s [ F ( s i ) z z − e s i T ] = 1 ( n − 1 ) ! d n − 1 d s n − 1 [ ( s − s i ) n F ( s ) z z − e s T ] s = s i {\rm Res}\left[F(s_i)\frac{z}{z-{\rm e}^{s_iT}}\right]=\frac{1}{(n-1)!}\frac{{\rm d}^{n-1}}{{\rm d}s^{n-1}}\left[(s-s_i)^nF(s)\frac{z}{z-{\rm e}^{sT}}\right]_{s=s_i} Res[F(si​)z−esi​Tz​]=(n−1)!1​dsn−1dn−1​[(s−si​)nF(s)z−esTz​]s=si​​

【例子】： F ( s ) = s + 3 ( s + 2 ) 2 ( s + 1 ) F(s)=\frac{s+3}{(s+2)^2(s+1)} F(s)=(s+2)2(s+1)s+3​共有 2 个不同的极点，其中 -2 为二重极点，所以 m = n = 2 , s 1 , 2 = − 2 , s 3 = − 1 m = n = 2, s_{1,2}=-2,s_3=-1 m=n=2,s1,2​=−2,s3​=−1，所以： F 1 ( z ) = 1 ( 2 − 1 ) ! d d s [ ( s + 2 ) 2 s + 3 ( s + 2 ) 2 ( s + 1 ) z z − e s T ] s = − 2 = d d s [ s z + 3 z s z − s e s T + z − e s T ] s = − 2 = [ z ( s z − s e s T + z − e s T ) − ( s z + 3 z ) ( z − e s T − T s e s T − T e s T ) ( s z − s e s T + z − e s T ) 2 ] s = − 2 = ( 2 − T ) e − 2 T z − 2 z 2 ( z − e − 2 T ) 2 F_1(z)=\frac{1}{(2-1)!}\frac{{\rm d}}{{\rm d}s}\left[(s+2)^2\frac{s+3}{(s+2)^2(s+1)}\frac{z}{z-{\rm e}^{sT}}\right]_{s=-2} \\\space \\ =\frac{{\rm d}}{{\rm d}s}\left[\frac{sz+3z}{sz-s{\rm e}^{sT}+z-{\rm e}^{sT}}\right]_{s=-2}\\\space \\ =\left[\frac{z(sz-s{\rm e}^{sT}+z-{\rm e}^{sT})-(sz+3z)(z-{\rm e}^{sT}-Ts{\rm e}^{sT}-T{\rm e}^{sT})}{(sz-s{\rm e}^{sT}+z-{\rm e}^{sT})^2}\right]_{s=-2}\\\space\\=\frac{(2-T){\rm e}^{-2T}z-2z^2}{(z-{\rm e}^{-2T})^2} F1​(z)=(2−1)!1​dsd​[(s+2)2(s+2)2(s+1)s+3​z−esTz​]s=−2​=dsd​[sz−sesT+z−esTsz+3z​]s=−2​=[(sz−sesT+z−esT)2z(sz−sesT+z−esT)−(sz+3z)(z−esT−TsesT−TesT)​]s=−2​=(z−e−2T)2(2−T)e−2Tz−2z2​

F 2 ( z ) = [ ( s + 1 ) s + 3 ( s + 2 ) 2 ( s + 1 ) z z − e s T ] s = − 1 = 2 z z − e − T F_2(z)=\left[(s+1)\frac{s+3}{(s+2)^2(s+1)}\frac{z}{z-{\rm e}^{sT}}\right]_{s=-1}=\frac{2z}{z-{\rm e}^{-T}} F2​(z)=[(s+1)(s+2)2(s+1)s+3​z−esTz​]s=−1​=z−e−T2z​

所以 F ( s ) F(s) F(s) 的 Z Z Z 变换为： F ( z ) = ( 2 − T ) e − 2 T z − 2 z 2 ( z − e − 2 T ) 2 + 2 z z − e − T F(z) = \frac{(2-T){\rm e}^{-2T}z-2z^2}{(z-{\rm e}^{-2T})^2}+\frac{2z}{z-{\rm e}^{-T}} F(z)=(z−e−2T)2(2−T)e−2Tz−2z2​+z−e−T2z​

三、Z变换的基本性质和定理

以下设 Z [ f ( t ) ] = F ( z ) {\mathcal Z}[f(t)] = F(z) Z[f(t)]=F(z)， Z [ f 1 ( t ) ] = F 1 ( z ) {\mathcal Z}[f_1(t)]=F_1(z) Z[f1​(t)]=F1​(z)， Z [ f 2 ( t ) ] = F 2 ( z ) {\mathcal Z}[f_2(t)]=F_2(z) Z[f2​(t)]=F2​(z)

3.1 线性性

Z [ k 1 f 1 ( t ) ± k 2 f 2 ( t ) ] = k 1 F 1 ( z ) ± k 2 F 2 ( z ) {\mathcal Z}[k_1f_1(t)\pm k_2f_2(t)]=k_1F_1(z)\pm k_2F_2(z) Z[k1​f1​(t)±k2​f2​(t)]=k1​F1​(z)±k2​F2​(z)

3.2 超前定理

Z [ f ( t + n T ) ] = z n [ F ( z ) − ∑ j = 0 n − 1 f ( j T ) z − j ] {\mathcal Z}[f(t+nT)]=z^n\left[F(z)-\sum_{j=0}^{n-1}f(jT)z^{-j}\right] Z[f(t+nT)]=zn[F(z)−j=0∑n−1​f(jT)z−j]

3.3 迟滞定理

Z [ f ( t − n T ) ] = z − n F ( z ) {\mathcal Z}[f(t-nT)]=z^{-n}F(z) Z[f(t−nT)]=z−nF(z)

3.4 初值定理

f ( 0 ) = lim ⁡ z → ∞ F ( z ) f(0)=\lim_{z\to\infty}F(z) f(0)=z→∞lim​F(z)

3.5 终值定理

注意：是 “终值定理”，不是 “中值定理”，拉氏变换也是 “终值定理”，非 “中值定理”。“中值定理” 是数学上的概念，表示某函数在某区间内，存在一个属于该区间内的值，使得函数满足函数值随导数值变化而变化这一本质规律，从而表现出来的一些性质，如拉格朗日中值定理。而 “终值定理”，是揭示当时间趋向于无穷时，系统表现出来的响应状态，反映出系统的稳态性能。

f ( ∞ ) = lim ⁡ t → ∞ f ( t ) = lim ⁡ k → ∞ f ( k T ) = lim ⁡ z → 1 ( 1 − z − 1 ) F ( z ) f(\infty)=\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{k\to\infty}f(kT)=\lim_{z\to1}(1-z^{-1})F(z) f(∞)=t→∞lim​f(t)=k→∞lim​f(kT)=z→1lim​(1−z−1)F(z)

3.6 复位移定理

Z [ e ± a t f ( t ) ] = F ( z e ∓ a T ) {\mathcal Z}\left[{\rm e}^{\pm at}f(t)\right]=F(z{\rm e}^{\mp aT}) Z[e±atf(t)]=F(ze∓aT)

3.7 复微分定理

Z [ t f ( t ) ] = − T z d F ( z ) d z {\mathcal Z}\left[tf(t)\right]=-Tz\frac{{\rm d}F(z)}{dz} Z[tf(t)]=−TzdzdF(z)​

3.8 复积分定理

Z [ f ( t ) t ] = ∫ z ∞ F ( z ) T z d z + lim ⁡ t → 0 f ( t ) t {\mathcal Z}\left[\frac{f(t)}{t}\right]=\int_z^\infty \frac{F(z)}{Tz}{\rm d}z+\lim_{t\to 0}\frac{f(t)}{t} Z[tf(t)​]=∫z∞​TzF(z)​dz+t→0lim​tf(t)​

3.9 叠分定理

设 g ( k ) = ∑ i = 1 k f ( i ) ( k ∈ Z ) g(k)=\sum_{i=1}^kf(i)\space\space\space(k\in Z) g(k)=i=1∑k​f(i)(k∈Z)则： G ( z ) = Z [ g ( k ) ] = z z − 1 F ( z ) G(z)={\mathcal Z}\left[g(k)\right]=\frac{z}{z-1}F(z) G(z)=Z[g(k)]=z−1z​F(z)

3.10 卷积定理

Z [ f 1 ( k ) ∗ f 2 ( k ) ] = F 1 ( z ) F 2 ( z ) {\mathcal Z}\left[f_1(k)*f_2(k)\right]=F_1(z)F_2(z) Z[f1​(k)∗f2​(k)]=F1​(z)F2​(z)其中： f 1 ( k ) ∗ f 2 ( k ) = ∑ i = 1 k f 1 ( k − i ) f 2 ( i ) = ∑ i = 1 ∞ f 1 ( k − i ) f 2 ( i ) f_1(k)*f_2(k)=\sum_{i=1}^kf_1(k-i)f_2(i)=\sum_{i=1}^\infty f_1(k-i)f_2(i) f1​(k)∗f2​(k)=i=1∑k​f1​(k−i)f2​(i)=i=1∑∞​f1​(k−i)f2​(i)显然，上式中 f 1 ( k ) f_1(k) f1​(k) 和 f 2 ( k ) f_2(k) f2​(k) 存在可交换性。

四、Z反变换方法

4.1 长除法

由前述知，Z 变换可以表示为一个真分式形式： F ( z ) = K ( z m + b 1 z m − 1 + b 2 z m − 2 + ⋯ + b m − 1 z + b m ) z n + a 1 z n − 1 + a 2 z n − 2 ⋯ + a n − 1 z + a n ( m ≤ n ) F(z)=\frac{K(z^m+b_{1}z^{m-1}+b_{2}z^{m-2}+\cdots+b_{m-1}z+b_m)}{z^n+a_{1}z^{n-1}+a_2z^{n-2}\cdots+a_{n-1}z+a_n}\space\space\space(m\leq n) F(z)=zn+a1​zn−1+a2​zn−2⋯+an−1​z+an​K(zm+b1​zm−1+b2​zm−2+⋯+bm−1​z+bm​)​(m≤n)也可以使用负幂表示：

F ( z ) = K z − ( n − m ) ( 1 + b 1 z − 1 + b 2 z − 2 + ⋯ + b m − 1 z − ( m − 1 ) + b m z − m ) 1 + a 1 z − 1 + a 2 z − 2 + ⋯ + a n − 1 z − ( n − 1 ) + a n z − n F(z)=\frac{Kz^{-(n-m)}(1+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}+\cdots+b_{m-1}z^{-(m-1)}+b_mz^{-m})}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}+\cdots+a_{n-1}z^{-(n-1)}+a_nz^{-n}} F(z)=1+a1​z−1+a2​z−2+⋯+an−1​z−(n−1)+an​z−nKz−(n−m)(1+b1​z−1+b2​z−2+⋯+bm−1​z−(m−1)+bm​z−m)​使用长除法可得： F ( z ) = ∑ k = 0 ∞ f ( k T ) z − k = f ( 0 ) + f ( 1 T ) z − 1 + f ( 2 T ) z − 2 + ⋯ + f ( n T ) z − n + ⋯ F(z)=\sum_{k=0}^{\infty}f(kT)z^{-k}=f(0)+f(1T)z^{-1}+f(2T)z^{-2}+\cdots+f(nT)z^{-n}+\cdots F(z)=k=0∑∞​f(kT)z−k=f(0)+f(1T)z−1+f(2T)z−2+⋯+f(nT)z−n+⋯

第一章已经说过 Z 变换具有明显的实际意义。所以通过上式，可以直接写出： f ∗ ( t ) = f ( 0 ) + f ( 1 T ) δ ( t − T ) + f ( 2 T ) δ ( t − 2 T ) + ⋯ + f ( n T ) δ ( t − n T ) + ⋯ f^*(t)=f(0)+f(1T)\delta(t-T)+f(2T)\delta(t-2T)+\cdots+f(nT)\delta(t-nT)+\cdots f∗(t)=f(0)+f(1T)δ(t−T)+f(2T)δ(t−2T)+⋯+f(nT)δ(t−nT)+⋯

长除法的优点在于它意义明显，方便简洁，长除法是小学就学过的运算方法，而得到的 F ( z ) F(z) F(z) 也能很直接地写出对应的离散采样函数。

但是长除法不能使用有限项来描述，往往得到的 f ∗ ( t ) f^*(t) f∗(t) 是一个无穷多项的序列。实际应用中，一般取n个有限项来逼近，n取决于从第几项开始，序列能够满足要求（如跟踪误差、动态响应等等）

4.2 部分分式展开法

F ( z ) F(z) F(z)可以表示为： F ( z ) = ∑ j = 0 m b j z m − j ∏ i = 1 n ( z − z i ) r i F(z)=\frac{\sum\limits_{j=0}^mb_jz^{m-j}}{\prod\limits_{i=1}^n(z-z_i)^{r_i}} F(z)=i=1∏n​(z−zi​)ri​j=0∑m​bj​zm−j​其中，分子是一个多项式，分母是因式分解为若干极点乘积的形式。

对于 l 1 l_1 l1​ 个单极点的情况，将单极点项分解为： F 1 ( z ) = ∑ i = 1 l 1 K i z d z − z i F_1(z)=\sum_{i=1}^{l_1}\frac{K_iz^d}{z-z_i} F1​(z)=i=1∑l1​​z−zi​Ki​zd​

对于含有 l 2 l_2 l2​ 个二重极点 z j z_j zj​ 的项，分解为： F 2 ( z ) = ∑ j = 1 l 2 [ K j 1 z d ( z − z j ) 2 + K j 2 z d z − z j ] F_2(z)=\sum_{j=1}^{l_2}\left[\frac{K_{j1}z^d}{(z-z_j)^2}+\frac{K_{j2}z^d}{z-z_j}\right] F2​(z)=j=1∑l2​​[(z−zj​)2Kj1​zd​+z−zj​Kj2​zd​]

请注意，如果 m ≥ 1 m \geq 1 m≥1，这里的分子是一次式！即 d = 1 d=1 d=1，如果 m = 0 m = 0 m=0，这里 d = 0 d=0 d=0

由第一章给出的 Z 变换表，得：

f 1 ( k T ) = ∑ i = 1 l 1 K i z i k f_1(kT)=\sum_{i=1}^{l_1}K_iz_i^k f1​(kT)=i=1∑l1​​Ki​zik​

对于二重极点 z j z_j zj​，有：

f 2 ( k T ) = K 1 k z j k − 1 + K 2 z j k f_2(kT)=K_1kz_j^{k-1}+K_2z_j^{k} f2​(kT)=K1​kzjk−1​+K2​zjk​

所以： f ∗ ( t ) = ∑ k = 0 ∞ [ f 1 ( k T ) + f 2 ( k T ) ] δ ( t − k T ) f^*(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\left[f_1(kT)+f_2(kT)\right]\delta(t-kT) f∗(t)=k=0∑∞​[f1​(kT)+f2​(kT)]δ(t−kT)

因为高次重极点可以分解为若干单极点和二重极点乘积的形式，所以不再赘述。

【例子】： F ( z ) = z ( z − 3 ) 2 ( z − 1 ) F(z)=\frac{z}{(z-3)^2(z-1)} F(z)=(z−3)2(z−1)z​求反变换。

分解为： F ( z ) = K 1 z z − 1 + K 2 z ( z − 3 ) 2 + K 3 z z − 3 F(z)=\frac{K_1z}{z-1}+\frac{K_2z}{(z-3)^2}+\frac{K_3z}{z-3} F(z)=z−1K1​z​+(z−3)2K2​z​+z−3K3​z​按部分分式展开法求解系数为： K 1 = 1 4 K_1=\frac{1}{4} K1​=41​， K 2 = 1 2 K_2=\frac{1}{2} K2​=21​， K 3 = − 1 4 K_3=-\frac{1}{4} K3​=−41​，所以： F ( z ) = 1 4 z z − 1 + 1 2 z ( z − 3 ) 2 − 1 4 z z − 3 F(z) = \frac{1}{4}\frac{z}{z-1}+\frac{1}{2}\frac{z}{(z-3)^2}-\frac{1}{4}\frac{z}{z-3} F(z)=41​z−1z​+21​(z−3)2z​−41​z−3z​由 Z 变换表，可得： f ( k T ) = 1 4 + k 2 3 k − 1 − 1 4 3 k = 1 4 + 2 k − 3 12 3 k f(kT)=\frac{1}{4}+\frac{k}{2}3^{k-1}-\frac{1}{4}3^k=\frac{1}{4}+\frac{2k-3}{12}3^k f(kT)=41​+2k​3k−1−41​3k=41​+122k−3​3k所以： f ∗ ( t ) = ∑ k = 0 ∞ [ 1 4 + 2 k − 3 12 3 k ] δ ( t − k T ) f^*(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\left[\frac{1}{4}+\frac{2k-3}{12}3^k\right]\delta(t-kT) f∗(t)=k=0∑∞​[41​+122k−3​3k]δ(t−kT)

4.3 留数法

设 F ( z ) F(z) F(z) 含有 m m m 个极点 z i z_i zi​ ，则： f ( k T ) = ∑ i = 1 m R e s [ F ( z ) z k − 1 ] z = z i f(kT)=\sum_{i=1}^m{\rm Res}\left[F(z)z^{k-1}\right]_{z=z_i} f(kT)=i=1∑m​Res[F(z)zk−1]z=zi​​那么留数分两种情况：

（1）对于单极点 z i z_i zi​： R e s [ F ( z ) z k − 1 ] z = z i = [ ( z − z i ) F ( z ) z k − 1 ] z = z i {\rm Res}\left[F(z)z^{k-1}\right]_{z=z_i}=\left[(z-z_i)F(z)z^{k-1}\right]_{z=z_i} Res[F(z)zk−1]z=zi​​=[(z−zi​)F(z)zk−1]z=zi​​

（2）对于 n n n 重极点 z i z_i zi​： R e s [ F ( z ) z k − 1 ] z = z i = 1 ( n − 1 ) ! d n − 1 d z n − 1 [ ( z − z i ) n F ( z ) z k − 1 ] z = z i {\rm Res}\left[F(z)z^{k-1}\right]_{z=z_i}=\frac{1}{(n-1)!} \frac{{\rm d}^{n-1}}{{\rm d}z^{n-1}}\left[(z-z_i)^nF(z)z^{k-1}\right]_{z=z_i} Res[F(z)zk−1]z=zi​​=(n−1)!1​dzn−1dn−1​[(z−zi​)nF(z)zk−1]z=zi​​

【例子】：还是考虑在“部分分式展开法”中的例子： F ( z ) = z ( z − 3 ) 2 ( z − 1 ) F(z)=\frac{z}{(z-3)^2(z-1)} F(z)=(z−3)2(z−1)z​ 显然， F ( z ) F(z) F(z) 有二重极点 z 1 , 2 = 3 z_{1,2}=3 z1,2​=3，有单极点 z 3 = 1 z_3=1 z3​=1

对于二重极点： R e s [ F ( z ) z k − 1 ] z = 3 = 1 ( 2 − 1 ) ! d d z [ ( z − 3 ) 2 F ( z ) z k − 1 ] z = 3 {\rm Res}\left[F(z)z^{k-1}\right]_{z=3}=\frac{1}{(2-1)!}\frac{{\rm d}}{{\rm d}z}\left[(z-3)^2F(z)z^{k-1}\right]_{z=3} Res[F(z)zk−1]z=3​=(2−1)!1​dzd​[(z−3)2F(z)zk−1]z=3​即： R e s [ F ( z ) z k − 1 ] z = 3 = d d z [ z k z − 1 ] z = 3 = ( k 6 − 1 4 ) 3 k {\rm Res}\left[F(z)z^{k-1}\right]_{z=3}=\frac{{\rm d}}{{\rm d}z}\left[\frac{z^k}{z-1}\right]_{z=3}=(\frac{k}{6}-\frac{1}{4})3^k Res[F(z)zk−1]z=3​=dzd​[z−1zk​]z=3​=(6k​−41​)3k对于单极点： R e s [ F ( z ) z k − 1 ] z = 1 = [ ( z − 1 ) F ( z ) z k − 1 ] z = 1 {\rm Res}\left[F(z)z^{k-1}\right]_{z=1}=\left[(z-1)F(z)z^{k-1}\right]_{z=1} Res[F(z)zk−1]z=1​=[(z−1)F(z)zk−1]z=1​即： R e s [ F ( z ) z k − 1 ] z = 1 = [ z k ( z − 3 ) 2 ] z = 1 = 1 4 {\rm Res}\left[F(z)z^{k-1}\right]_{z=1}=\left[\frac{z^k}{(z-3)^2}\right]_{z=1}=\frac{1}{4} Res[F(z)zk−1]z=1​=[(z−3)2zk​]z=1​=41​所以： f ( k T ) = ( k 6 − 1 4 ) 3 k + 1 4 = 2 k − 3 12 3 k + 1 4 f(kT)=(\frac{k}{6}-\frac{1}{4})3^k+\frac{1}{4}=\frac{2k-3}{12}3^k+\frac{1}{4} f(kT)=(6k​−41​)3k+41​=122k−3​3k+41​于是： f ∗ ( t ) = ∑ k = 0 ∞ [ 1 4 + 2 k − 3 12 3 k ] δ ( t − k T ) f^*(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\left[\frac{1}{4}+\frac{2k-3}{12}3^k\right]\delta(t-kT) f∗(t)=k=0∑∞​[41​+122k−3​3k]δ(t−kT)

五、扩展Z变换

5.1 概念

F ( z ) F(z) F(z) 虽然反映了连续信号 f ( t ) f(t) f(t) 在采样时刻的信号情况，但是采样时刻是间断的，相邻两个采样时刻之间的函数变化情况无法通过 F ( z ) F(z) F(z) 表现出来。一般情况下，由于采样频率很高，相邻两个采样点之间的间隔极短，往往不会在意，但有时如果确想知道这个“极短”时间内信号的情况，普通Z变化是做不了的，而扩展Z变化就是为了解决这个问题。

请想，如果采样间隔 T = 1 s T=1{\rm s} T=1s ， 如果要反映在 0.5s 1.5s ……的情况，怎么实现呢？一个很简单的思路就是，既然以前是在 0s 1s 2s …… 采样，那我如果将这个时间序列滞后0.5s，是不是就可以得到0.5 1.5 ……时刻的情况了呢？事实上，采样时刻往往是设定的，一般不通过滞后采样时间来实现，通常通过把 f ( t ) f(t) f(t) 滞后一段时间，这样原来采样时应当采到的信号便会滞后一个时间，从而得到信号序列。

【刘建昌，计算机控制技术[M]】

5.2 定义

假定要延迟的时长为 λ T \lambda T λT，这个延时时间可以看做延迟一个整周期 T T T，再超前 ( 1 − λ ) T (1-\lambda) T (1−λ)T

记： F ( z , m ) = Z m [ f ( t ) ] = Z [ f ( t − λ T ) ] F(z,m)={\mathcal Z}_m\left[f(t)\right] = {\mathcal Z}\left[f(t-\lambda T)\right] F(z,m)=Zm​[f(t)]=Z[f(t−λT)]，其中， λ = 1 − m \lambda=1-m λ=1−m

那么： Z [ f ( t − λ T ) ] = f ( m T ) z − 1 + f ( T + m T ) z − 2 + f ( 2 T + m T ) z − 3 + ⋯ {\mathcal Z}\left[f(t-\lambda T)\right]=f(mT)z^{-1}+f(T+mT)z^{-2}+f(2T+mT)z^{-3}+\cdots Z[f(t−λT)]=f(mT)z−1+f(T+mT)z−2+f(2T+mT)z−3+⋯提出公因子 z − 1 z^{-1} z−1 ，得： Z [ f ( t − λ T ) ] = z − 1 [ f ( m T ) + f ( T + m T ) z − 1 + f ( 2 T + m T ) z − 2 + ⋯ ] {\mathcal Z}\left[f(t-\lambda T)\right]=z^{-1}\left[f(mT)+f(T+mT)z^{-1}+f(2T+mT)z^{-2}+\cdots\right] Z[f(t−λT)]=z−1[f(mT)+f(T+mT)z−1+f(2T+mT)z−2+⋯]所以： Z [ f ( t − λ T ) ] = z − 1 ∑ k = 0 ∞ f ( m T + k T ) z − k = z − 1 Z [ f ( k T + m T ) ] = z − 1 Z [ f ( ( k + 1 − λ ) T ) ] {\mathcal Z}\left[f(t-\lambda T)\right]=z^{-1}\sum_{k=0}^{\infty}f(mT+kT)z^{-k}=z^{-1}{\mathcal Z}\left[f(kT+mT)\right]=z^{-1}{\mathcal Z}\left[f((k+1-\lambda)T)\right] Z[f(t−λT)]=z−1k=0∑∞​f(mT+kT)z−k=z−1Z[f(kT+mT)]=z−1Z[f((k+1−λ)T)]

可以注意到，这个式子有明显的物理意义： z − 1 z^{-1} z−1 表示滞后一个整周期， m T mT mT 表示在这个基础上再超前 m m m 个 T T T，就达到了滞后 λ T \lambda T λT 的效果。

5.3 一些结论

设系统传递函数为 F ( s ) F(s) F(s)，则：

F ( z , m ) = z − 1 Z [ F ( s ) e m T s ] F(z,m)=z^{-1}{\mathcal Z}\left[F(s){\rm e}^{mTs}\right] F(z,m)=z−1Z[F(s)emTs]

证明： F ( z , m ) = Z m [ F ( s ) ] = Z [ F ( s ) e − λ T s ] = Z [ F ( s ) e − T s + ( T − λ T ) s ] = Z [ F ( s ) e m T s ] F(z,m)={\mathcal Z}_m\left[F(s)\right]={\mathcal Z}\left[F(s){\rm e}^{-\lambda Ts}\right]={\mathcal Z}\left[F(s){\rm e}^{-Ts+(T-\lambda T)s}\right]={\mathcal Z}\left[F(s){\rm e}^{mTs}\right] F(z,m)=Zm​[F(s)]=Z[F(s)e−λTs]=Z[F(s)e−Ts+(T−λT)s]=Z[F(s)emTs]

m = 0 m=0 m=0 时， F ( z , 0 ) = z − 1 ∑ k = 0 ∞ f ( k T ) z − k = z − 1 F ( z ) F(z,0)=z^{-1}\sum\limits_{k=0}^{\infty}f(kT)z^{-k}=z^{-1}F(z) F(z,0)=z−1k=0∑∞​f(kT)z−k=z−1F(z)

这种情况下，物理意义是采样只滞后，不超前，相当于延迟一个整周期。

m = 1 m=1 m=1 时， F ( z , 1 ) = z − 1 ∑ k = 0 ∞ f [ ( k + 1 ) T ] z − k = F ( z ) − f ( 0 ) F(z,1)=z^{-1}\sum\limits_{k=0}^{\infty}f[(k+1)T]z^{-k}=F(z)-f(0) F(z,1)=z−1k=0∑∞​f[(k+1)T]z−k=F(z)−f(0)

这种情况下，如果系统处于零初始状态，则有 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f(0)=0，进而 F ( z , 1 ) = F ( z ) F(z,1)=F(z) F(z,1)=F(z)，这种情况的物理意义是正常采样，不滞后。

阶跃函数的扩展 Z 变换与 m m m 无关。

证明： F ( z , m ) = z − 1 ∑ k = 0 ∞ f ( k T + m T ) z − k = z − 1 ∑ k = 0 ∞ z − k = z − 1 1 − z − 1 F(z,m)=z^{-1}\sum_{k=0}^{\infty}f(kT+mT)z^{-k}=z^{-1}\sum_{k=0}^{\infty}z^{-k}=\frac{z^{-1}}{1-z^{-1}} F(z,m)=z−1k=0∑∞​f(kT+mT)z−k=z−1k=0∑∞​z−k=1−z−1z−1​

以上就是 Z 变换相关内容了，在此基础上，后期会继续发自控原理的离散系统以及计算机控制系统的相关知识点。这是新年前最后一篇，喜欢的朋友可以来主页看往期自控原理的相关内容。