哇，开始重新补数学知识了以后，才发现有好多“XX空间”这样的概念啊，这本书说这个，那篇文章又用那个，搞得人云里雾里，所以在这里把基础知识整理一下，主要关注“空间”概念本身和概念之间的区别。

线性空间/向量空间

线性空间=向量空间！！这两个概念是等价的。线性空间的概念如下：

简单来说，线性空间就是定义了加法和数乘运算、且满足上述八条运算规律的非空集合。

常见的线性空间有：实数域；全体n维向量构成的n维空间（实线性空间）或(复线性空间）；实数域上所有矩阵按照矩阵加法和数与矩阵的乘法构成的线性空间等。

线性空间的性质有：

线性空间中零元素是唯一的。

线性空间中任一元素的负元素是唯一的。

对于线性空间中的任意元素有。

如果，则或。

还有非常重要的“线性相关”、“基”、“维数”、“线性子空间”的概念，想必大家都很熟悉了，在这里就不多说了，有疑问的可以点这里。

范数+线性赋范空间

线性赋范空间就是定义了范数的线性空间，范数和线性赋范空间的定义如下：

在这里需要说明一下，一个线性空间可以引入多个范数。常用的范数有：

L1范数: ||x|| 为x向量各个元素绝对值之和，L2范数: ||x|| 为x向量各个元素平方和的1/2次方，L2范数又称Euclidean范数或者Frobenius范数，Lp范数: ||x|| 为x向量各个元素绝对值p次方和的1/p次方，L∞范数: ||x|| 为x向量各个元素绝对值最大的那个元素的绝对值，L-∞范数: ||x|| 为x向量各个元素绝对值最小的那个元素的绝对值，

度量空间/距离空间+线性度量空间

度量空间亦称距离空间，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。

在一维、二维、三维线性空间中，“距离”的概念都是很直观的，但是再往更高维度线性空间或者非线性空间扩展，物理意义上“距离”的定义显然不适用了，因此我们可以采用更抽象的方式定义“距离”和“距离空间（度量空间）”：

设X是非空集合，对于X中任意的两个元素x与y，若按某一法则都对应唯一的实数d(x，y)，而且满足下述三个性质：

(1) 【非负性】d(x，y)≥0，[d(x，y)=0，当且仅当x=y]；

(2) 【对称性】d(x，y)=d(y，x)；

(3) 【三角不等性】对于任意的x，y，z∈X，恒有 d(x，y)≤d(x，z)+d(z，y)。

则称d(x, y)为x与y的距离，并称X是以d为距离的距离空间。

线性度量空间，很显然，就是在线性空间的基础上在定义距离的空间。

在这里，我们还可以把距离和范数联系起来：

曼哈顿距离（对应L1范数）欧式距离（对应L2范数）切比雪夫距离（对应L∞范数）

同一个空间可以由多个范数，但是只能定义一个距离，所以，我们可以通过范数来定义距离，但是不能通过距离来定义范数。

内积空间+欧氏空间+酉空间

线性空间中仅定义了线性运算（加法和数乘），之后，我们可以引入“距离”的概念，使得向量具有了“模（长度）”的特征。如果我们进一步定义了内积（也称为点积或标量基），将一对矢量与一个纯量连接起来，那就相当于我们在这个空间中引入了“夹角”的概念，并可以进一步谈论矢量的正交、投影等。

定义了内积的线性空间被称为内积空间，具体定义如下：

当K是实数域时，我们将U称为实内积空间，也称为欧几里得（Euclid）空间或欧氏空间；当K是复数域时，我们将U称为复内积空间，也称为酉空间或U空间。

内积空间满足以下性质：

希尔伯特空间+巴拿赫空间

完备的内积空间称为希尔伯特（Hilbert）空间，而完备的赋范空间称为巴拿赫（Banach）空间。在这里，完备性的意思就是柯西序列在内部收敛。希尔伯特空间是巴拿赫空间的特例，是用内积定义的范数。这个按我目前学到的用的不多，我也太了解，就不详细展开了，以后用到了再补充吧，Bye~

参考

http://ishare./f/6sgceP9H45f.html

/view/084bd34124c52cc58bd63186bceb19e8b8f6ec0e.html

/lulu950817/article/details/80424288

/html//1008/136508481.shtm