向量空间 内积空间 线性空间 欧氏空间 希尔伯特空间

向量空间

向量空间一个最大的特征是对加法运算和数乘运算封闭。n维向量空间的定义是n维实向量全体构成的集合，同事考虑到向量的线性运算，成为实n维向量空间，用Rn表示，显然Rn中任意两个向量的和向量还是Rn中的向量，Rn中任意一个向量与一个实数的乘积也是Rn中的向量。向量空间又称为线性空间。

欧氏空间

欧氏空间也称为欧几里得空间，是带有“内积”的实数域上的一类向量空间。引入内积的目的是能够计算两点间的距离和夹角。向量空间中的向量对应于欧几里得平面中的点，在向量空间中的加法运算对应于欧几里得空间中的平移。

内积空间

暂时没有看出内积空间与欧式空间的差别

希尔伯特空间

希尔伯特空间即是完备的内积空间，首先说明一下完备性。完备空间或者完备度量空间是指空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。柯西序列中的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切的说，在去掉优先个元素后，可以使得余下的元素中的任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正常数。