向量组
向量组：有限个相同维度的行向量或列向量组合成的一个集合就叫做向量组A 如果是行向量，那么表示为：A=(a1⃗a2⃗a3⃗⋮an⃗⋮)A = \left (\begin{array}{cccc}\vec{a_1} \\\vec{a_2} \\\vec{a_3} \\ \vdots \\\vec{a_n} \\ \vdots \\\end{array} \right )A=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛a1a2a3⋮an⋮⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞如果是列向量，那么表示为：A=(a1⃗,a2⃗,a3⃗,⋯,an⃗,⋯)A = (\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, \cdots, \vec{a_n}, \cdots)A=(a1,a2,a3,⋯,an,⋯) 向量组是由多个向量构成，可以表示为矩阵正交向量
当∣∣x∣∣=1||x|| = 1∣∣x∣∣=1时，称x为单位向量，这里∣∣x∣∣||x||∣∣x∣∣特指向量x的模当∣∣x∣∣≠0,∣∣y∣∣≠0||x|| \neq 0, ||y|| \neq 0∣∣x∣∣=0,∣∣y∣∣=0时，θ=arccosx⋅y∣∣x∣∣⋅∣∣y∣∣\theta = arccos \frac{x · y}{||x|| · ||y||}θ=arccos∣∣x∣∣⋅∣∣y∣∣x⋅y 称为n维向量x与y的夹角 当x⋅y=0x · y = 0x⋅y=0时，称向量x与y正交若x=0x=0x=0,则显然x与任何向量都正交向量的线性表示
对于向量组：A:α1,α2,...,αnA: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_nA:α1,α2,...,αn， 表达式 k1α1+k2α2+...+knαn(ki∈R)k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_n \alpha_n \ \ \ (k_i \in R)k1α1+k2α2+...+knαn(ki∈R) 称为向量组A的一个线性组合又如果β\betaβ是向量组A的一个线性组合，即存在数λ1,λ2,...,λn\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_nλ1,λ2,...,λn, 使得 β=λ1α1+λ2α2+...+λnαn\beta = \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + ... + \lambda_n \alpha_nβ=λ1α1+λ2α2+...+λnαn, 则称向量 β\betaβ 可由向量组A线性表示 通常写成 β=[α1,α2,⋯,αn][λ1λ2⋮λn]\beta = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n]\left [\begin{array}{cccc}\lambda_1 \\\lambda_2 \\ \vdots \\\lambda_n\end{array} \right ]β=[α1,α2,⋯,αn]⎣⎢⎢⎢⎡λ1λ2⋮λn⎦⎥⎥⎥⎤向量β\betaβ 可由向量组 A:α1,α2,...,αnA: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_nA:α1,α2,...,αn 线性表示 ⇔\Leftrightarrow⇔ (按定义) 存在数 λ1,λ2,...,λn\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_nλ1,λ2,...,λn 使 λ1α1+λ2α2+...+λnαn=β\lambda_1\alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + ... + \lambda_n \alpha_n = \betaλ1α1+λ2α2+...+λnαn=β⇔\Leftrightarrow⇔ (转换为方程组) 方程组 x1α1+x2α2+...+xnαn=βx_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + ... + x_n \alpha_n = \betax1α1+x2α2+...+xnαn=β 即：Ax=β(A=[α1,α2,...,αn])Ax = \beta (A = [\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n])Ax=β(A=[α1,α2,...,αn]) 有解 如果向量组B:β1,β2,...,βqB: \beta_1, \beta_2, ..., \beta_qB:β1,β2,...,βq中的每个向量都可由向量组A:α1,α2,...,αnA: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_nA:α1,α2,...,αn 线性表示，则称向量组B可由向量组A线性表示 设B由A表示如下：{β1=c11α1+c21α2+⋯+cp1αpβ2=c12α1+c22α2+⋯+cp2αp⋯βq=c1qα1+c2qα2+⋯+cpqαp\left \{\begin{array}{cccc}\beta_1 = c_{11}\alpha_1 + c_{21}\alpha_2 + \cdots + c_{p1}\alpha_p \\ \beta_2 = c_{12}\alpha_1 + c_{22}\alpha_2 + \cdots + c_{p2}\alpha_p \\ \cdots \\ \beta_q = c_{1q}\alpha_1 + c_{2q}\alpha_2 + \cdots + c_{pq}\alpha_p \\ \end{array} \right.⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧β1=c11α1+c21α2+⋯+cp1αpβ2=c12α1+c22α2+⋯+cp2αp⋯βq=c1qα1+c2qα2+⋯+cpqαp一个向量组表示另一向量组就是矩阵乘法的关系改写为矩阵 [β1,β2,⋯,βq]=[α1,α2,⋯,αp][c11c12⋯c1qc21c22⋯c1q⋮⋮⋮cp1cp2...cpq]p×q[\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_q] = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_p]\left [\begin{array}{cccc}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1q} \\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{1q} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\c_{p1} & c_{p2} & ... & c_{pq}\end{array} \right ]_{p×q}[β1,β2,⋯,βq]=[α1,α2,⋯,αp]⎣⎢⎢⎢⎡c11c21⋮cp1c12c22⋮cp2⋯⋯...c1qc1q⋮cpq⎦⎥⎥⎥⎤p×q即：B = A × C系数矩阵 转换为矩阵方程 AX=BAX = BAX=B 有解 如果向量组A:α1,α2,...,αpA: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_pA:α1,α2,...,αp 与向量组 B:β1,β2,β3...,βqB: \beta_1, \beta_2, \beta_3 ..., \beta_qB:β1,β2,β3...,βq 可以相互表示，则称这两个向量组等价关于向量组的等价关系： 如果 A=(α1α2⋮αm)→行变换B=(β1β2⋮βm)A =\left (\begin{array}{cccc}\alpha_1 \\\alpha_2 \\ \vdots \\\alpha_m\end{array} \right ) \overset{\text{行变换}}{\to} B =\left (\begin{array}{cccc}\beta_1 \\\beta_2 \\ \vdots \\\beta_m\end{array} \right )A=⎝⎜⎜⎜⎛α1α2⋮αm⎠⎟⎟⎟⎞→行变换B=⎝⎜⎜⎜⎛β1β2⋮βm⎠⎟⎟⎟⎞则称A与B行等价.同理可定义列等价. 设向量组A:α1,α2,...,αmA: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_mA:α1,α2,...,αm, 如果其中一个向量可由其余的向量线性表示，则称该向量组线性相关，否则，如果任意向量都不能由其余向量线性表示，则称该向量组线性无关(或独立) 如何用数学数字表达？ 如果存在不全为零的数k1,k2,...,kmk_1, k_2, ..., k_mk1,k2,...,kmk1α1+k2α2+...+kmαm=0k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0k1α1+k2α2+...+kmαm=0则称该向量组线性相关.否则，如果设 k1α1+k2α2+...+kmαm=0k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0k1α1+k2α2+...+kmαm=0只能推出 k1=k2=...=km=0k_1 = k_2 = ... = k_m = 0k1=k2=...=km=0 则称该向量组线性无关线性相关与线性无关统称为向量组的线性相关性向量组的线性相关性与线性表示有何关系？ 向量组线性相关的充要条件是：向量组中至少存在一个向量是其余向量的线性组合同理, 可回答线性无关与线性表示的关系 定理：向量组A:α1,α2,...,αnA: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_nA:α1,α2,...,αn 线性相关的充要条件是矩阵A=(α1,α2,...,αn)A=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)A=(α1,α2,...,αn)的秩小于向量个数n，向量组α1,α2,...,αn\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_nα1,α2,...,αn 线性无关 ⇔r(A)=n\Leftrightarrow r(A) = n⇔r(A)=n (满秩)例1
α1=(1−23)T,α2=(210)T,α3=(1−79)T\alpha_1 = (1 -2 3)^T, \alpha_2 = (2 1 0)^T, \alpha_3 = (1 -7 9)^Tα1=(1−23)T,α2=(210)T,α3=(1−79)T 问这组向量是否线性相关?分析 A=(α1,α2,α3)=(121−21−7309)→(12105−50−66)→(12101−1000)A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = \left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 \\-2 & 1 & -7 \\3 & 0 & 9\end{array} \right ) \to\left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 \\0 & 5 & -5 \\0 & -6 & 6\end{array} \right ) \to\left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 \\0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0\end{array} \right )A=(α1,α2,α3)=⎝⎛1−232101−79⎠⎞→⎝⎛10025−61−56⎠⎞→⎝⎛1002101−10⎠⎞因为 r(A)=2<3r(A) = 2 < 3r(A)=2<3所以线性相关
例2
α1=[111],α2=[011],α3=[245]\alpha_1 = \left [\begin{array}{cccc}1 \\1 \\1 \\\end{array} \right ],\alpha_2 = \left [\begin{array}{cccc}0 \\1 \\1 \\\end{array} \right ],\alpha_3 = \left [\begin{array}{cccc}2 \\4 \\5 \\\end{array} \right ]α1=⎣⎡111⎦⎤,α2=⎣⎡011⎦⎤,α3=⎣⎡245⎦⎤, 问向量组 {α1,α2,α3}\{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \}{α1,α2,α3}的线性相关性?分析 [α1,α2,α3]=[102114115]→[10001][\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3] = \left [\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 \\1 & 1 & 4 \\1 & 1 & 5 \end{array} \right ] \to \left [\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 1 \end{array} \right ][α1,α2,α3]=⎣⎡111011245⎦⎤→⎣⎡100010221⎦⎤r([α1,α2,α3])=3r([\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3]) = 3r([α1,α2,α3])=3, {α1,α2,α3}\{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \}{α1,α2,α3} 线性无关
