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一、线性相关性1. 定义2. 线性相关性的运算3. 延长和缩短4. 个数和维数5. 整体和部分6. 与线性表示的联系7. 与秩、方程组、行列式的联系8. 与矩阵的联系（1） A B = 0 AB=0 AB=0（零向量）（2）左乘矩阵 二、线性表示1. 定义2. 线性表示的运算3. 整体和部分4. 传递性（1）线性表示的传递性（2）向量组等价的传递性 5. 与秩、方程组的联系（1）一个向量可由其他向量组线性表示？（2）一个向量组可由其他向量组线性表示？【结论（1）的推广】（3）向量组等价【结论（2）的推广】 6. 与线性相关性的联系7. 与矩阵的联系（ A B = C AB=C AB=C） 三、矩阵的秩1. 秩的定义2. 秩的性质3. 秩与方程组一、线性相关性
1. 定义
（1）线性相关：设 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 是 n n n 维向量，若 ∃ \exist ∃ 不全为 0 0 0 的一组数 k 1 , k 2 , . . . , k s k_1,k_2,...,k_s k1,k2,...,ks，使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s = 0 k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s = 0 k1α1+k2α2+...+ksαs=0，则称 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性相关。
（2）线性无关：设 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 是 n n n 维向量，若要使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s = 0 k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s = 0 k1α1+k2α2+...+ksαs=0，当且仅当 k 1 = k 2 = . . . = k s = 0 k_1 = k_2 =... = k_s = 0 k1=k2=...=ks=0，则称 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性无关。
（3）有零向量的向量组一定线性相关。
【注】如未特别说明，所有向量均视为列向量。
2. 线性相关性的运算
（1）线性相关 + 线性相关 = 线性相关： α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性相关， β 1 , β 2 , . . . , β s \beta_1,\beta_2,...,\beta_s β1,β2,...,βs 线性相关 ⇒ α 1 + β 1 , α 2 + β 2 , . . . , α s + β s \Rightarrow \alpha_1+\beta_1,\alpha_2+\beta_2,...,\alpha_s+\beta_s ⇒α1+β1,α2+β2,...,αs+βs 线性相关
（2）线性相关 + 线性无关 = 线性无关： α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性相关， β 1 , β 2 , . . . , β s \beta_1,\beta_2,...,\beta_s β1,β2,...,βs 线性无关 ⇒ α 1 + β 1 , α 2 + β 2 , . . . , α s + β s \Rightarrow \alpha_1+\beta_1,\alpha_2+\beta_2,...,\alpha_s+\beta_s ⇒α1+β1,α2+β2,...,αs+βs 线性无关
（3）线性无关 + 线性无关 = 线性相关性不确定： α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性无关， β 1 , β 2 , . . . , β s \beta_1,\beta_2,...,\beta_s β1,β2,...,βs 线性无关 ⇒ α 1 + β 1 , α 2 + β 2 , . . . , α s + β s \Rightarrow \alpha_1+\beta_1,\alpha_2+\beta_2,...,\alpha_s+\beta_s ⇒α1+β1,α2+β2,...,αs+βs 的线性相关性不确定
3. 延长和缩短
（1）原来无关，延长无关： α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 是 n n n 维线性无关的向量 ⇒ \Rightarrow ⇒ 延长至 m ( m > n ) m(m>n) m(m>n) 维后仍线性无关
（2）原来相关，缩短相关： α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 是 m m m 维线性无关的向量 ⇒ \Rightarrow ⇒ 缩短至 n ( n < m ) n(n<m) n(n<m) 维后仍线性无关
（3）特别地， n n n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 和 m m m 维向量 ( α 1 0 ) , ( α 2 0 ) , . . . , ( α s 0 ) \left( \begin{matrix} \alpha_1 \\ 0 \end{matrix} \right),\left( \begin{matrix} \alpha_2 \\ 0 \end{matrix} \right),...,\left( \begin{matrix} \alpha_s \\ 0 \end{matrix} \right) (α10),(α20),...,(αs0) 的线性相关性一致。
【注】从齐次线性方程组的角度来看，是 A x = 0 Ax=0 Ax=0 中方程个数的增加和减少。
4. 个数和维数
（1）个数 > 维数： s > n ⇒ s>n \Rightarrow s>n⇒ n n n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性相关
（2）个数 = 维数： s = n , ∣ α 1 , α 2 , . . . , α s ∣ = 0 ⇒ s=n, |\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s|=0 \Rightarrow s=n,∣α1,α2,...,αs∣=0⇒ n n n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性相关
（3）个数 < 维数： s < n , r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) < s ⇒ s<n, r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)<s \Rightarrow s<n,r(α1,α2,...,αs)<s⇒ n n n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性相关
5. 整体和部分
设 n n n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α s , . . . , α t ( s < t ) \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,...,\alpha_t(s<t) α1,α2,...,αs,...,αt(s<t)，则有：
（1）整体无关，部分无关： α 1 , α 2 , . . . , α s , . . . , α t \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,...,\alpha_t α1,α2,...,αs,...,αt 线性无关 ⇒ α 1 , α 2 , . . . , α s \Rightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s ⇒α1,α2,...,αs 线性无关
（2）部分相关，整体相关： α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性相关 ⇒ α 1 , α 2 , . . . , α s , . . . , α t \Rightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,...,\alpha_t ⇒α1,α2,...,αs,...,αt 线性相关
【注】从齐次线性方程组的角度来看，是 A x = 0 Ax=0 Ax=0 中未知数个数的增加和减少。
6. 与线性表示的联系
（1） n n n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性无关 ⇒ ∀ α i ( 1 ≤ i ≤ s ) \Rightarrow \forall \alpha_i(1 \leq i \leq s) ⇒∀αi(1≤i≤s) 不可由其他向量线性表示
（2） n n n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性相关 ⇒ ∃ α i ( 1 ≤ i ≤ s ) \Rightarrow \exist \alpha_i(1 \leq i \leq s) ⇒∃αi(1≤i≤s) 可由其他向量线性表示
7. 与秩、方程组、行列式的联系
设矩阵 A n × s = ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) A_{n \times s} = (\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) An×s=(α1,α2,...,αs)，则有：
（1） n n n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性无关 ⇔ r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) = s ⇔ r ( A ) = s ⇔ A x = 0 \Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) = s \Leftrightarrow r(A)=s \Leftrightarrow Ax=0 ⇔r(α1,α2,...,αs)=s⇔r(A)=s⇔Ax=0 有且仅有零解 ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 \Leftrightarrow |A| \neq 0 ⇔∣A∣=0（仅当 A A A 为方阵）
（2） n n n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性相关 ⇔ r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) < s ⇔ r ( A ) < s ⇔ A x = 0 \Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) < s \Leftrightarrow r(A)<s \Leftrightarrow Ax=0 ⇔r(α1,α2,...,αs)<s⇔r(A)<s⇔Ax=0 有无穷解（非零解） ⇔ ∣ A ∣ = 0 \Leftrightarrow |A| = 0 ⇔∣A∣=0（仅当 A A A 为方阵）
8. 与矩阵的联系
（1） A B = 0 AB=0 AB=0（零向量）
设非零矩阵 A m × n = ( a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . a m 1 a m 2 . . . a m n ) A_{m \times n} = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix} \right) Am×n= a11a21...am1a12a22am2.........a1na2namn 可由列向量组表示为 ( α 1 , α 2 , . . . , α m ) (\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m) (α1,α2,...,αm)。
设非零矩阵 B n × s = ( b 11 b 12 . . . b 1 s b 21 b 22 . . . b 2 s . . . b n 1 b n 2 . . . b n s ) B_{n \times s} = \left( \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1s} \\ b_{21} & b_{22} & ... & b_{2s} \\ ... \\ b_{n1} & b_{n2} & ... & b_{ns} \end{matrix} \right) Bn×s= b11b21...bn1b12b22bn2.........b1sb2sbns 可由行向量组表示为 ( β 1 β 2 . . . β s ) \left( \begin{matrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ ... \\ \beta_s \end{matrix} \right) β1β2...βs 。
（1.1） A B = 0 ⇔ ( α 1 , α 2 , . . . , α m ) ( b 11 b 12 . . . b 1 s b 21 b 22 . . . b 2 s . . . b n 1 b n 2 . . . b n s ) = 0 ⇔ AB=0 \Leftrightarrow (\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m) \left( \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1s} \\ b_{21} & b_{22} & ... & b_{2s} \\ ... \\ b_{n1} & b_{n2} & ... & b_{ns} \end{matrix} \right) = 0 \Leftrightarrow AB=0⇔(α1,α2,...,αm) b11b21...bn1b12b22bn2.........b1sb2sbns =0⇔ 矩阵 A A A 的列向量组线性相关 ⇔ A x = 0 \Leftrightarrow Ax=0 ⇔Ax=0 有非零解
（1.2） A B = 0 ⇔ ( a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . a m 1 a m 2 . . . a m n ) ( β 1 β 2 . . . β m ) = 0 ⇔ AB=0 \Leftrightarrow \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ ... \\ \beta_m \end{matrix} \right) = 0 \Leftrightarrow AB=0⇔ a11a21...am1a12a22am2.........a1na2namn β1β2...βm =0⇔ 矩阵 B B B 的行向量组线性相关 ⇔ x B = 0 ( B T x = 0 ) \Leftrightarrow xB=0 (B^Tx=0) ⇔xB=0(BTx=0) 有非零解
（2）左乘矩阵
设有 m × n m \times n m×n矩阵 A A A，则有：
（2.1） n n n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性相关 ⇒ A α 1 , A α 2 , . . . , A α s \Rightarrow A\alpha_1,A\alpha_2,...,A\alpha_s ⇒Aα1,Aα2,...,Aαs 线性相关
【证明】 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性相关 ⇔ r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) < s \Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) < s ⇔r(α1,α2,...,αs)<s，且 r ( A B ) ≤ r ( B ) r(AB) \leq r(B) r(AB)≤r(B)，所以有 r ( A α 1 , A α 2 , . . . , A α s ) ≤ r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) < s r(A\alpha_1,A\alpha_2,...,A\alpha_s) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) < s r(Aα1,Aα2,...,Aαs)≤r(α1,α2,...,αs)<s，说明 A α 1 , A α 2 , . . . , A α s A\alpha_1,A\alpha_2,...,A\alpha_s Aα1,Aα2,...,Aαs 线性相关。
（2.2） n n n 维向量 A α 1 , A α 2 , . . . , A α s A\alpha_1,A\alpha_2,...,A\alpha_s Aα1,Aα2,...,Aαs 线性无关 ⇒ α 1 , α 2 , . . . , α s \Rightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s ⇒α1,α2,...,αs 线性无关
【证明】 A α 1 , A α 2 , . . . , A α s A\alpha_1,A\alpha_2,...,A\alpha_s Aα1,Aα2,...,Aαs 线性无关 ⇔ r ( A α 1 , A α 2 , . . . , A α s ) = s \Leftrightarrow r(A\alpha_1,A\alpha_2,...,A\alpha_s) = s ⇔r(Aα1,Aα2,...,Aαs)=s，且 r ( A B ) ≤ r ( B ) r(AB) \leq r(B) r(AB)≤r(B)，所以有 s = r ( A α 1 , A α 2 , . . . , A α s ) ≤ r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) s = r(A\alpha_1,A\alpha_2,...,A\alpha_s) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) s=r(Aα1,Aα2,...,Aαs)≤r(α1,α2,...,αs)；又 r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) ≤ s r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) \leq s r(α1,α2,...,αs)≤s，所以 r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) = s r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) = s r(α1,α2,...,αs)=s，说明 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性无关。
二、线性表示
1. 定义
（1）线性表示：设 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 是 n n n 维向量，若 ∃ \exist ∃ 一组数 k 1 , k 2 , . . . , k s k_1,k_2,...,k_s k1,k2,...,ks，使得 β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s \beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s β=k1α1+k2α2+...+ksαs，则称 β \beta β 可由 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性表示。
（2）极大线性无关组：设 n n n 维向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 中有 r r r 个向量线性无关，任意 r + 1 r+1 r+1 个向量（如果有）线性相关，则称 r r r 个线性无关的向量为该向量组的一个极大线性无关组，且 r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) = r r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)=r r(α1,α2,...,αs)=r。
（3）向量组等价：设 n n n 维向量组 ( I ) α 1 , α 2 , . . . , α s (I)\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s (I)α1,α2,...,αs 和 ( I I ) β 1 , β 2 , . . . , β t (II)\beta_1,\beta_2,...,\beta_t (II)β1,β2,...,βt，若向量组 ( I ) (I) (I) 可由 ( I I ) (II) (II) 线性表示，向量组 ( I I ) (II) (II) 也可由 ( I ) (I) (I) 线性表示，则称 ( I ) (I) (I) 和 ( I I ) (II) (II) 等价。
2. 线性表示的运算
设 n n n 维向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs，且 β , γ \beta,\gamma β,γ 也是 n n n 维向量，则有：
（1）线性 + 线性 = 线性： β , γ \beta,\gamma β,γ 可用 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性表示 ⇒ \Rightarrow ⇒ β ± γ \beta±\gamma β±γ 可用 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性表示
（2）非线性 + 非线性 = 不确定： β , γ \beta,\gamma β,γ 都可用 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性表示 ⇒ \Rightarrow ⇒ β ± γ \beta±\gamma β±γ 不一定能用 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性表示
（3）线性 + 非线性 = 非线性： β \beta β 可用 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性表示， γ \gamma γ 不可用 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性表示 ⇒ \Rightarrow ⇒ β ± γ \beta±\gamma β±γ 不可用 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性表示
3. 整体和部分
设 n n n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α s , . . . , α t ( s < t ) \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,...,\alpha_t(s<t) α1,α2,...,αs,...,αt(s<t)，则有：
（1） β \beta β 可由 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性表示 ⇒ β \Rightarrow \beta ⇒β 可由 α 1 , α 2 , . . . , α s , . . . , α t \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,...,\alpha_t α1,α2,...,αs,...,αt 线性表示
（2） β \beta β 不可由 α 1 , α 2 , . . . , α s , . . . , α t \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,...,\alpha_t α1,α2,...,αs,...,αt 线性表示 ⇒ β \Rightarrow \beta ⇒β 不可由 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性表示
4. 传递性
（1）线性表示的传递性
（1.1）设 n n n 维向量组 ( I ) α 1 , α 2 , . . . , α s (I)\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s (I)α1,α2,...,αs 可由 ( I I ) β 1 , β 2 , . . . , β t (II)\beta_1,\beta_2,...,\beta_t (II)β1,β2,...,βt 线性表示，则： γ \gamma γ 可由 ( I ) (I) (I) 线性表示 ⇒ γ \Rightarrow \gamma ⇒γ 可由 ( I I ) (II) (II) 线性表示
（1.2） β \beta β 可由 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性表示 ⇔ β \Leftrightarrow \beta ⇔β 可由 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 的极大无关组线性表示 ⇔ α 1 , α 2 , . . . , α s \Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s ⇔α1,α2,...,αs 与 α 1 , α 2 , . . . , α s , β \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta α1,α2,...,αs,β 等价
（1.3） β \beta β 可由 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性表示， α \alpha α 可由 α 1 , α 2 , . . . , α s − 1 \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{s-1} α1,α2,...,αs−1 线性表示 ⇒ β \Rightarrow \beta ⇒β 可由 α 1 , α 2 , . . . , α s − 1 \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{s-1} α1,α2,...,αs−1 线性表示
（2）向量组等价的传递性
若向量组 ( I ) α 1 , α 2 , . . . , α s (I)\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s (I)α1,α2,...,αs 和 ( I I ) β 1 , β 2 , . . . , β t (II)\beta_1,\beta_2,...,\beta_t (II)β1,β2,...,βt 等价，则有：
（2.1） γ \gamma γ 可由 ( I ) (I) (I) 线性表示 ⇔ γ \Leftrightarrow \gamma ⇔γ 可由 ( I I ) (II) (II) 线性表示
（2.2） γ \gamma γ 不可由 ( I ) (I) (I) 线性表示 ⇔ γ \Leftrightarrow \gamma ⇔γ 不可由 ( I I ) (II) (II) 线性表示
5. 与秩、方程组的联系
（1）一个向量可由其他向量组线性表示？
（1.1） r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) ≤ r ( α 1 , α 2 , . . . , α s , β ) ≤ r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) + 1 r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)+1 r(α1,α2,...,αs)≤r(α1,α2,...,αs,β)≤r(α1,α2,...,αs)+1
（1.2） β \beta β 可由 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性表示 ⇔ r ( α 1 , α 2 , . . . , α s , β ) = r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) ≤ s \Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta) = r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) \leq s ⇔r(α1,α2,...,αs,β)=r(α1,α2,...,αs)≤s
从非齐次线性方程组的角度来看，是 A x = b Ax=b Ax=b 有无穷多解 ⇔ r ( A ) = r ( A , b ) < n \Leftrightarrow r(A) = r(A,b) < n ⇔r(A)=r(A,b)<n。
（1.3） β \beta β 可由 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 唯一线性表示 ⇔ r ( α 1 , α 2 , . . . , α s , β ) = r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) = s \Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta) = r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) = s ⇔r(α1,α2,...,αs,β)=r(α1,α2,...,αs)=s
从非齐次线性方程组的角度来看，是 A x = b Ax=b Ax=b 有唯一解 ⇔ r ( A ) = r ( A , b ) = n \Leftrightarrow r(A) = r(A,b) = n ⇔r(A)=r(A,b)=n。
【注】上述结论又可写为： β \beta β 可由 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性表示，则：表示方法唯一 ⇔ α 1 , α 2 , . . . , α s \Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s ⇔α1,α2,...,αs 线性无关
（1.4） β \beta β 不可由 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性表示 ⇔ r ( α 1 , α 2 , . . . , α s , β ) = r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) + 1 \Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta) = r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) + 1 ⇔r(α1,α2,...,αs,β)=r(α1,α2,...,αs)+1
从非齐次线性方程组的角度来看，是 A x = b Ax=b Ax=b 无解 ⇔ r ( A ) ≠ r ( A , b ) \Leftrightarrow r(A) \neq r(A,b) ⇔r(A)=r(A,b)。
【注】 β \beta β 不可由 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性表示，则：
原来无关，加入后无关： α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性无关 ⇔ α 1 , α 2 , . . . , α s , β \Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta ⇔α1,α2,...,αs,β 线性无关原来相关，加入后相关： α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性相关 ⇔ α 1 , α 2 , . . . , α s , β \Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta ⇔α1,α2,...,αs,β 线性相关
（2）一个向量组可由其他向量组线性表示？【结论（1）的推广】
（2.1） r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) ≤ r ( α 1 , α 2 , . . . , α s , β 1 , β 2 , . . . , β t ) ≤ r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) + t r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,...,\beta_t) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)+t r(α1,α2,...,αs)≤r(α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt)≤r(α1,α2,...,αs)+t
（2.2） β 1 , β 2 , . . . , β t \beta_1,\beta_2,...,\beta_t β1,β2,...,βt 可由 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性表示 ⇔ r ( α 1 , α 2 , . . . , α s , β 1 , β 2 , . . . , β t ) = r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) ≤ s \Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,...,\beta_t) = r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) \leq s ⇔r(α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt)=r(α1,α2,...,αs)≤s
从非齐次线性方程组的角度来看，是 A x = B Ax=B Ax=B 有无穷多解 ⇔ r ( A ) = r ( A , B ) < n \Leftrightarrow r(A) = r(A,B) < n ⇔r(A)=r(A,B)<n。
【注】 β 1 , β 2 , . . . , β t \beta_1,\beta_2,...,\beta_t β1,β2,...,βt 可由 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性表示 ⇒ r ( β 1 , β 2 , . . . , β t ) ≤ r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) \Rightarrow r(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) ⇒r(β1,β2,...,βt)≤r(α1,α2,...,αs)，但逆命题不成立。
（2.3） β 1 , β 2 , . . . , β t \beta_1,\beta_2,...,\beta_t β1,β2,...,βt 可由 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 唯一线性表示 ⇔ r ( α 1 , α 2 , . . . , α s , β 1 , β 2 , . . . , β t ) = r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) = s \Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,...,\beta_t) = r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) = s ⇔r(α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt)=r(α1,α2,...,αs)=s
从非齐次线性方程组的角度来看，是 A x = B Ax=B Ax=B 有唯一解 ⇔ r ( A ) = r ( A , B ) = n \Leftrightarrow r(A) = r(A,B) = n ⇔r(A)=r(A,B)=n。
（2.4） β 1 , β 2 , . . . , β t \beta_1,\beta_2,...,\beta_t β1,β2,...,βt 不可由 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性表示 ⇔ r ( α 1 , α 2 , . . . , α s , β 1 , β 2 , . . . , β t ) = r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) + t \Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,...,\beta_t) = r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) + t ⇔r(α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt)=r(α1,α2,...,αs)+t
从非齐次线性方程组的角度来看，是 A x = B Ax=B Ax=B 无解 ⇔ r ( A ) ≠ r ( A , B ) \Leftrightarrow r(A) \neq r(A,B) ⇔r(A)=r(A,B)。
【注】 β 1 , β 2 , . . . , β t \beta_1,\beta_2,...,\beta_t β1,β2,...,βt 不可由 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性表示，则：
原来无关，加入后无关： α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性无关 ⇔ α 1 , α 2 , . . . , α s , β 1 , β 2 , . . . , β t \Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,...,\beta_t ⇔α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt 线性无关原来相关，加入后相关： α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性相关 ⇔ α 1 , α 2 , . . . , α s , β 1 , β 2 , . . . , β t \Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,...,\beta_t ⇔α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt 线性相关
（2.5）以少表多，多的相关：若 β 1 , β 2 , . . . , β t \beta_1,\beta_2,...,\beta_t β1,β2,...,βt 可由 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性表示，则有：
（2.5.1） s < t ⇒ β 1 , β 2 , . . . , β t s<t \Rightarrow \beta_1,\beta_2,...,\beta_t s<t⇒β1,β2,...,βt 线性相关（2.5.2） β 1 , β 2 , . . . , β t \beta_1,\beta_2,...,\beta_t β1,β2,...,βt 线性无关 ⇒ s ≥ t \Rightarrow s \geq t ⇒s≥t
【证明】结论（2.5.1）和结论（2.5.2）互为逆否命题，只需证明结论（2.5.1）即可：
β 1 , β 2 , . . . , β t \beta_1,\beta_2,...,\beta_t β1,β2,...,βt 可由 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性表示
⇒ r ( β 1 , β 2 , . . . , β t ) ≤ r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) ≤ s < t \Rightarrow r(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) \leq s < t ⇒r(β1,β2,...,βt)≤r(α1,α2,...,αs)≤s<t
⇒ β 1 , β 2 , . . . , β t \Rightarrow\beta_1,\beta_2,...,\beta_t ⇒β1,β2,...,βt 线性相关
（3）向量组等价【结论（2）的推广】
设 ( I ) α 1 , α 2 , . . . , α s (I)\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s (I)α1,α2,...,αs 和 ( I I ) β 1 , β 2 , . . . , β t (II)\beta_1,\beta_2,...,\beta_t (II)β1,β2,...,βt，则有：
（3.1） ( I ) (I) (I) 和 ( I I ) (II) (II) 等价 ⇔ ( I ) \Leftrightarrow (I) ⇔(I) 可由 ( I I ) (II) (II) 线性表示， ( I I ) (II) (II) 也可由 ( I ) (I) (I) 线性表示 ⇔ r ( I ) = r ( I , I I ) = r ( I I ) \Leftrightarrow r(I) = r(I,II) = r(II) ⇔r(I)=r(I,II)=r(II)
（3.2） r ( I ) = r ( I I ) ⇏ r(I) = r(II) \nRightarrow r(I)=r(II)⇏ ( I ) (I) (I) 和 ( I I ) (II) (II) 等价
从齐次线性方程组的角度来看，是 A x = 0 Ax=0 Ax=0 和 B x = 0 Bx=0 Bx=0 同解 ⇔ r ( A ) = r ( B ) = r ( A B ) \Leftrightarrow r(A) = r(B) =r \left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) ⇔r(A)=r(B)=r(AB)。
6. 与线性相关性的联系
β \beta β 可由 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 唯一表示 ⇔ α 1 , α 2 , . . . , α s \Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s ⇔α1,α2,...,αs 线性无关， α 1 , α 2 , . . . , α s , β \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta α1,α2,...,αs,β 线性相关
7. 与矩阵的联系（ A B = C AB=C AB=C）
设非零矩阵 A m × n = ( a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . a m 1 a m 2 . . . a m n ) A_{m \times n} = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix} \right) Am×n= a11a21...am1a12a22am2.........a1na2namn 可由列向量组表示为 ( α 1 , α 2 , . . . , α m ) (\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m) (α1,α2,...,αm)。
设非零矩阵 B n × s = ( b 11 b 12 . . . b 1 s b 21 b 22 . . . b 2 s . . . b n 1 b n 2 . . . b n s ) B_{n \times s} = \left( \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1s} \\ b_{21} & b_{22} & ... & b_{2s} \\ ... \\ b_{n1} & b_{n2} & ... & b_{ns} \end{matrix} \right) Bn×s= b11b21...bn1b12b22bn2.........b1sb2sbns 可由行向量组表示为 ( β 1 β 2 . . . β s ) \left( \begin{matrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ ... \\ \beta_s \end{matrix} \right) β1β2...βs 。
设非零矩阵 C m × s C_{m \times s} Cm×s 可由列向量组表示为 ( γ 1 , γ 2 , . . . , γ s ) (\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_s) (γ1,γ2,...,γs)，也可由行向量组表示为 ( δ 1 δ 2 . . . δ m ) \left( \begin{matrix} \delta_1 \\ \delta_2 \\ ... \\ \delta_m \end{matrix} \right) δ1δ2...δm 。
（1） A B = C ⇔ ( α 1 , α 2 , . . . , α m ) ( b 11 b 12 . . . b 1 s b 21 b 22 . . . b 2 s . . . b n 1 b n 2 . . . b n s ) = ( γ 1 , γ 2 , . . . , γ s ) ⇔ AB=C \Leftrightarrow (\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m) \left( \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1s} \\ b_{21} & b_{22} & ... & b_{2s} \\ ... \\ b_{n1} & b_{n2} & ... & b_{ns} \end{matrix} \right) = (\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_s) \Leftrightarrow AB=C⇔(α1,α2,...,αm) b11b21...bn1b12b22bn2.........b1sb2sbns =(γ1,γ2,...,γs)⇔ 矩阵 C C C 的列向量组可用矩阵 A A A 的列向量组线性表示 ⇔ r ( A ) = r ( A , C ) ⇔ A x = C \Leftrightarrow r(A)=r(A,C) \Leftrightarrow Ax=C ⇔r(A)=r(A,C)⇔Ax=C 有解
若加上前提条件：矩阵 B B B 可逆，则有： A = C B − 1 ⇒ A=CB^{-1} \Rightarrow A=CB−1⇒ 矩阵 A A A 的列向量组也可用矩阵 C C C 的列向量组线性表示 ⇒ \Rightarrow ⇒ （结合上述结论可得）矩阵 A A A 的列向量组与矩阵 C C C 的列向量组等价 ⇔ r ( A ) = r ( C ) = r ( A , C ) ⇔ r ( A T ) = r ( C T ) = r ( A T C T ) \Leftrightarrow r(A)=r(C)=r(A,C) \Leftrightarrow r(A^T)=r(C^T)=r \left(\begin{matrix} A^T \\ C^T \end{matrix} \right) ⇔r(A)=r(C)=r(A,C)⇔r(AT)=r(CT)=r(ATCT)
（2） A B = C ⇔ ( a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . a m 1 a m 2 . . . a m n ) ( β 1 β 2 . . . β s ) = ( δ 1 δ 2 . . . δ m ) ⇔ AB=C \Leftrightarrow \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ ... \\ \beta_s \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \delta_1 \\ \delta_2 \\ ... \\ \delta_m \end{matrix} \right) \Leftrightarrow AB=C⇔ a11a21...am1a12a22am2.........a1na2namn β1β2...βs = δ1δ2...δm ⇔ 矩阵 C C C 的行向量组可用矩阵 B B B 的行向量组线性表示 ⇔ r ( B ) = r ( B C ) ⇔ x B = C ( B T x = C T ) \Leftrightarrow r(B)=r\left(\begin{matrix} B \\ C \end{matrix} \right) \Leftrightarrow xB=C (B^Tx=C^T) ⇔r(B)=r(BC)⇔xB=C(BTx=CT) 有解
若加上前提条件：矩阵 A A A 可逆，则有： B = C A − 1 ⇒ B=CA^{-1} \Rightarrow B=CA−1⇒ 矩阵 B B B 的行向量组也可用矩阵 C C C 的行向量组线性表示 ⇒ \Rightarrow ⇒ （结合上述结论可得）矩阵 C C C 的行向量组与矩阵 B B B 的行向量组等价 ⇔ r ( B ) = r ( C ) = r ( B C ) ⇔ r ( B T ) = r ( C T ) = r ( B T , C T ) \Leftrightarrow r(B)=r(C)=r\left(\begin{matrix} B \\ C \end{matrix} \right) \Leftrightarrow r(B^T)=r(C^T)=r(B^T,C^T) ⇔r(B)=r(C)=r(BC)⇔r(BT)=r(CT)=r(BT,CT)
三、矩阵的秩
1. 秩的定义
（1）秩： r ( A ) = r(A)= r(A)= 非 0 0 0 子式（行列式）的阶数的最大值
（2） r ( A ) = r(A)= r(A)= 行向量组的秩 = = = 列向量组的秩
（3）设矩阵 A m × n A_{m \times n} Am×n，则有：
0 ≤ r ( A ) ≤ m i n ( m , n ) 0 \leq r(A) \leq min(m,n) 0≤r(A)≤min(m,n) r ( A ) = m ⇔ A r(A)=m \Leftrightarrow A r(A)=m⇔A 行满秩 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ A A A 的行向量组线性无关 r ( A ) = n ⇔ A r(A)=n \Leftrightarrow A r(A)=n⇔A 列满秩 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ A A A 的列向量组线性无关
（4）设矩阵 A n × n A_{n \times n} An×n，则有：
A A A 满秩 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ A A A 行满秩且列满秩 A A A 满秩 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( A ) = n r(A)=n r(A)=n ⇔ \Leftrightarrow ⇔ A A A 的行向量组和列向量组均线性无关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \neq 0 ∣A∣=0 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ A A A 可逆
（5）矩阵等价：矩阵 A A A 和 B B B 可通过初等变换互相转化，称 A A A 和 B B B 等价。
A A A 和 B B B 等价 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ A A A 和 B B B 的行列对应相等， r ( A ) = r ( B ) r(A)=r(B) r(A)=r(B)
2. 秩的性质
（1）关于转置矩阵的性质：
r ( A T A ) = r ( A A T ) = r ( A T ) = r ( A ) r(A^TA)=r(AA^T)=r(A^T)=r(A) r(ATA)=r(AAT)=r(AT)=r(A) r ( A , B ) = ( A T B T ) r(A,B)=\left(\begin{matrix} A^T \\ B^T \end{matrix} \right) r(A,B)=(ATBT)
（2） r ( c A ) = r ( A ) ( c ≠ 0 ) r(cA)=r(A) (c \neq 0) r(cA)=r(A)(c=0)
（3） ∣ r ( A ) − r ( B ) ∣ ≤ r ( A ± B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) |r(A)-r(B)| \leq r(A±B) \leq r(A)+r(B) ∣r(A)−r(B)∣≤r(A±B)≤r(A)+r(B)
（4）关于拼接矩阵( A , B ) (A,B) (A,B) 和 ( A B ) \left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) (AB) 的性质：
r ( A , B ) ≥ r ( A , O ) = r ( A ) r(A,B) \geq r(A,O) = r(A) r(A,B)≥r(A,O)=r(A)， r ( A , B ) ≥ r ( O , B ) = r ( B ) r(A,B) \geq r(O,B) = r(B) r(A,B)≥r(O,B)=r(B) r ( A ± B ) ≤ r ( A , B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) r(A±B) \leq r(A,B) \leq r(A)+r(B) r(A±B)≤r(A,B)≤r(A)+r(B) r ( A , A B ) = r ( A ) = r ( A B A ) r(A,AB)=r(A)=r \left(\begin{matrix} A \\ BA \end{matrix} \right) r(A,AB)=r(A)=r(ABA)
r ( A B ) ≥ r ( A O ) = r ( A ) r \left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) \geq r \left(\begin{matrix} A \\ O \end{matrix} \right) =r(A) r(AB)≥r(AO)=r(A)， r ( A B ) ≥ r ( O B ) = r ( B ) r \left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) \geq r \left(\begin{matrix} O \\ B \end{matrix} \right) =r(B) r(AB)≥r(OB)=r(B) r ( A ± B ) ≤ r ( A B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) r(A±B) \leq r \left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) \leq r(A)+r(B) r(A±B)≤r(AB)≤r(A)+r(B) r ( A O O B ) = r ( A ) + r ( B ) r \left(\begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right) = r(A)+r(B) r(AOOB)=r(A)+r(B) r ( A C O B ) ≥ r ( A O O B ) = r ( A ) + r ( B ) r \left(\begin{matrix} A & C \\ O & B \end{matrix} \right) \geq r \left(\begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right) = r(A)+r(B) r(AOCB)≥r(AOOB)=r(A)+r(B)【注】 r ( A , B A ) ≠ r ( A ) r(A,BA) \neq r(A) r(A,BA)=r(A)，这是因为 ( A , B A ) = ( E , B ) A (A,BA) = (E,B)A (A,BA)=(E,B)A 中， ( E , B ) (E,B) (E,B) 的列数和 A A A 的行数不相等，矩阵乘法无意义。
【注】有些资料使用 ( A ∣ B ) (A|B) (A∣B) 的形式表示拼接矩阵。
（5）关于矩阵乘积A B AB AB 的性质：
r ( A B ) ≤ r ( A ) , r ( A B ) ≤ r ( B ) r(AB) \leq r(A),r(AB) \leq r(B) r(AB)≤r(A),r(AB)≤r(B) A A A 列满秩 ⇒ r ( A B ) = r ( B ) \Rightarrow r(AB)=r(B) ⇒r(AB)=r(B)（左乘列满秩矩阵，秩不变） B B B 行满秩 ⇒ r ( A B ) = r ( A ) \Rightarrow r(AB)=r(A) ⇒r(AB)=r(A)（右乘行满秩矩阵，秩不变） A m × n B n × s = O ⇒ r ( A ) + r ( B ) ≤ n A_{m \times n}B_{n \times s}=O \Rightarrow r(A)+r(B) \leq n Am×nBn×s=O⇒r(A)+r(B)≤n A m × n B n × s = O , r ( A ) = n ⇒ B = O A_{m \times n}B_{n \times s}=O,r(A)=n \Rightarrow B=O Am×nBn×s=O,r(A)=n⇒B=O
（6）关于伴随矩阵A ∗ A^* A∗ 的性质：
r ( A ∗ ) = { n , r ( A ) = n 1 , r ( A ) = n − 1 0 , r ( A ) < n − 1 r(A^*)= \begin{cases} n, & r(A) = n\\ 1, & r(A) = n-1 \\ 0, & r(A) < n-1 \end{cases} r(A∗)=⎩ ⎨ ⎧n,1,0,r(A)=nr(A)=n−1r(A)<n−1
3. 秩与方程组
（1）齐次线性方程组
（1.1）齐次线性方程组 A m × n x = 0 A_{m \times n}x=0 Am×nx=0，表示有 m m m 个方程， n n n 个未知数，其解的判定为：
A x = 0 { 无穷多解 , r ( A ) < n （有效方程个数 < 未知数个数） 仅有 0 解 , r ( A ) = n （有效方程个数 = 未知数个数） Ax=0 \begin{cases} 无穷多解, & r(A)<n（有效方程个数<未知数个数） \\ 仅有0解, & r(A)=n（有效方程个数=未知数个数） \end{cases} Ax=0{无穷多解,仅有0解,r(A)<n（有效方程个数<未知数个数）r(A)=n（有效方程个数=未知数个数）
（1.2）解的性质：
A x = 0 Ax=0 Ax=0恰有 s s s 个线性无关的解 ⇔ A x = 0 \Leftrightarrow Ax=0 ⇔Ax=0 的基础解系解向量个数为 s = n − r ( A ) s=n-r(A) s=n−r(A) A x = 0 Ax=0 Ax=0 有 s s s 个线性无关的解 ⇔ A x = 0 \Leftrightarrow Ax=0 ⇔Ax=0 的基础解系解向量个数大于等于 s ⇔ n − r ( A ) ≥ s s \Leftrightarrow n-r(A) \geq s s⇔n−r(A)≥s若 η 1 , η 2 , . . . , η s \eta_1,\eta_2,...,\eta_s η1,η2,...,ηs 是 A x = 0 Ax=0 Ax=0 的基础解系，则通解为 k 1 η 1 + k 2 η 2 + . . . + k s η s k_1\eta_1 + k_2\eta_2+...+k_s\eta_s k1η1+k2η2+...+ksηs
（1.3）判断 η 1 , η 2 , . . . , η s \eta_1,\eta_2,...,\eta_s η1,η2,...,ηs 是 A x = 0 Ax=0 Ax=0 的基础解系的步骤：
η 1 , η 2 , . . . , η s \eta_1,\eta_2,...,\eta_s η1,η2,...,ηs 是 A x = 0 Ax=0 Ax=0 的一组解 η 1 , η 2 , . . . , η s \eta_1,\eta_2,...,\eta_s η1,η2,...,ηs 线性无关解向量个数需满足 s = n − r ( A ) s=n-r(A) s=n−r(A)
（2）非齐次线性方程组
（2.1）非齐次线性方程组 A m × n x = b A_{m \times n}x=b Am×nx=b，表示有 m m m 个方程组， n n n 个未知数，，其解的判定为：
A x = b { 无解 , r ( A ) < r ( A , b ) 有解 { 无穷多解 , r ( A ) = r ( A , b ) < n 唯一解 , r ( A ) = r ( A , b ) = n Ax=b \begin{cases} 无解, r(A)<r(A,b) \\ 有解 \begin{cases} 无穷多解, & r(A)=r(A,b)<n \\ 唯一解, & r(A)=r(A,b)=n \end{cases} \end{cases} Ax=b⎩ ⎨ ⎧无解,r(A)<r(A,b)有解{无穷多解,唯一解,r(A)=r(A,b)<nr(A)=r(A,b)=n
（2.2）另外，对于方程个数 m m m，有：
r ( A ) ≤ m r(A) \leq m r(A)≤m， r ( A , b ) ≤ m r(A,b) \leq m r(A,b)≤m r ( A ) = m ⇒ A x = b r(A)=m \Rightarrow Ax=b r(A)=m⇒Ax=b 一定有解
m < n ⇒ A x = b m < n \Rightarrow Ax=b m<n⇒Ax=b 一定不是唯一解【证明】 r ( A ) = m ⇔ A r(A)=m \Leftrightarrow A r(A)=m⇔A 行满秩（行向量组线性无关） ⇒ \Rightarrow ⇒ 由“原来无关，延长无关”知 ( A , b ) (A,b) (A,b) 行满秩（行向量组线性无关） ⇔ r ( A , b ) = m ⇔ A x = b \Leftrightarrow r(A,b)=m \Leftrightarrow Ax=b ⇔r(A,b)=m⇔Ax=b 有解
（2.3）解的性质：
A x = b Ax=b Ax=b 有两个不同解 ⇔ A x = b \Leftrightarrow Ax=b ⇔Ax=b 有无穷解 ⇔ r ( A ) < n \Leftrightarrow r(A)<n ⇔r(A)<n A x = b Ax=b Ax=b恰有 s s s 个线性无关的解 ⇔ A x = 0 \Leftrightarrow Ax=0 ⇔Ax=0 恰有 s − 1 s-1 s−1 个线性无关的解 ⇔ A x = 0 \Leftrightarrow Ax=0 ⇔Ax=0 的基础解系解向量个数为 s − 1 s-1 s−1 ⇔ A x = b \Leftrightarrow Ax=b ⇔Ax=b 的解向量个数为 n − r ( A ) + 1 n-r(A)+1 n−r(A)+1若 η 1 , η 2 , . . . , η s \eta_1,\eta_2,...,\eta_s η1,η2,...,ηs 是其导出组A x = 0 Ax=0 Ax=0 的基础解系， ξ \xi ξ 是 A x = b Ax=b Ax=b 的一个特解，则通解为 k 1 η 1 + k 2 η 2 + . . . + k s η s + ξ k_1\eta_1 + k_2\eta_2+...+k_s\eta_s+\xi k1η1+k2η2+...+ksηs+ξ
（3）公共解
（3.1） A x = 0 Ax=0 Ax=0 和 B x = 0 Bx=0 Bx=0 有公共解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 求 ( A B ) x = 0 \left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) x=0 (AB)x=0 的解
（3.2） A x = b Ax=b Ax=b 和 B x = d Bx=d Bx=d 有公共解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 求 ( A B ) x = ( b d ) \left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) x = \left(\begin{matrix} b \\ d \end{matrix} \right) (AB)x=(bd) 的解
（4）同解
（4.1） A x = 0 Ax=0 Ax=0 和 B x = 0 Bx=0 Bx=0 同解 ⇔ A x = 0 \Leftrightarrow Ax=0 ⇔Ax=0 和 B x = 0 Bx=0 Bx=0 和 ( A B ) x = 0 \left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) x=0 (AB)x=0 同解 ⇔ r ( A ) = r ( B ) = r ( A B ) ⇔ \Leftrightarrow r(A)=r(B)=r \left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) \Leftrightarrow ⇔r(A)=r(B)=r(AB)⇔ A A A 和 B B B 行等价
【注】 A x = 0 Ax=0 Ax=0 和 B x = 0 Bx=0 Bx=0 同解 ⇒ r ( A ) = r ( B ) \Rightarrow r(A)=r(B) ⇒r(A)=r(B)，但 r ( A ) = r ( B ) ⇏ r(A)=r(B) \nRightarrow r(A)=r(B)⇏ A x = 0 Ax=0 Ax=0 和 B x = 0 Bx=0 Bx=0 同解
【证明】 A x = 0 Ax=0 Ax=0 和 B x = 0 Bx=0 Bx=0 同解 ⇒ \Rightarrow ⇒ 基础解系解向量个数相等，即 n − r ( A ) = n − r ( B ) ⇒ r ( A ) = r ( B ) n-r(A)=n-r(B) \Rightarrow r(A)=r(B) n−r(A)=n−r(B)⇒r(A)=r(B)
（4.2） A x = c Ax=c Ax=c 和 B x = d Bx=d Bx=d 同解 ⇔ A x = c \Leftrightarrow Ax=c ⇔Ax=c 和 B x = d Bx=d Bx=d 和 ( A B ) x = ( c d ) \left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) x=\left(\begin{matrix} c \\ d \end{matrix} \right) (AB)x=(cd) 同解 ⇔ r ( A , c ) = r ( B , d ) = r ( A c B d ) ⇔ \Leftrightarrow r(A,c)=r(B,d)=r \left(\begin{matrix} A & c \\ B & d \end{matrix} \right) \Leftrightarrow ⇔r(A,c)=r(B,d)=r(ABcd)⇔ ( A , c ) (A,c) (A,c) 和 ( B , d ) (B,d) (B,d) 行等价
（4.3） A x = 0 Ax=0 Ax=0 都是 B x = 0 Bx=0 Bx=0 的解，且 r ( A ) = r ( B ) ⇒ r(A)=r(B) \Rightarrow r(A)=r(B)⇒ A x = 0 Ax=0 Ax=0 和 B x = 0 Bx=0 Bx=0 同解
（4.4） A x = c Ax=c Ax=c 都是 B x = d Bx=d Bx=d 的解，且 r ( A ) = r ( B ) ⇒ r(A)=r(B) \Rightarrow r(A)=r(B)⇒ A x = b Ax=b Ax=b 和 B x = d Bx=d Bx=d 同解
