物理与工程 Vol. 19 No. 1 作者简介 石涵(1987 年生) ,男 ,清华大学理学院 ,本科生. 大学生园地 用 Matlab 研究李萨如图形及其讨论 石 涵 (清华大学理学院 ,北京 100084) (收稿日期: 07217)摘 要 本文用 Matlab 6. 5 软件模拟示波器中的李萨如图形实验 ,并讨论振动中的频率、相位和振幅等多重因素对于李萨如图形生成的影响 ,同时简要地介绍了利用垂直简谐振动合成测量频率的实际应用. 关键词 Matlab ;李萨如图形 ;频率比 ;初相位 ;相位差 引言 互相垂直的两个简谐振动的合成较一维振动合成复杂一些. 如果振动频率相同 ,则可形成稳定的椭圆曲线(极端条件为圆和直线) ;而对于振动频率不相同的垂直振动叠加 ,一般说来 ,合振动的轨迹不能形成稳定的图案. 但如果两振动频率成整数比 ,则合振动的轨迹为封闭曲线 ,称为李萨如图形. 互相垂直不同频率的两个简谐振动的合成中有如下多个因素主要影响着其合成轨迹[1] :频率比、两个振动的初相位、两个振动的相位差. 而李萨如图形的绘制可以比较直观地描绘出这些因素究竟如何影响其轨迹的合成. 在这其中 ,示波器往往可以起到较为准确地绘制李萨如图形的作用 ; 而现代计算机软件的开发为模拟示波器的图像提供了更为简洁有效的平台. 本文采用 Matlab 6. 5 软件作为模拟仿真实验工具 ,以绘制不同参数条件下的李萨如图形 ,并进一步讨论以上提及的多种因素对垂直简谐振动合成的影响以及实际的应用. 1 仿真实验及其结果讨论 1. 1 一个振动初相位为零时的振动合成 设ω x和ωy为 x 、y 两个方向的振动频率. 先讨 论简单情况 :不妨设 y 方向初相位φy为零 ,则初相 位差φ x - φ y =φ x . 1) 程序设计(1) wx = input (′ wx =′) ; wy = input (′ wy =′) ; nx = input (′ nx =′) ; t = 0∶ 0. 02∶ 200 ; x = cos(wxt + nx3. 1415926) ; y = cos(wy3t) ; plot (x ,y) 2) 实验图像结果(1) 简单频率比与初相位差的图像如图 1 所示. 3) 讨论(1) 上述条件下两个方向的振动轨迹方程为 x = cos(ω x t +φ) y = cosω yt 从不同频率比的图像之间的比较可以看出 : 如果从累加的轨迹图像中检出一条完整封闭的连续曲线 ,那么在其中 , x 方向的极值点数目和 y 方向的极值点数目之比与两个方向的振动频率之比相同. 这正是因为在振动的一个完整周期中 ,必定会两次达到振幅的最值(也是极值) . 对于不同初相位差之间的比较 ,乍看起来似乎无规律可循. 而我们仍然可以注意到 ,不同频率 比条件下的图像初相位差为(π / 2) + x 和(π / 2) - x 的图像相同 ,即关于π / 2 对称. 事实上 ,如果我 们增补如图 2 所示的实验结果. 不难看出 ,图像在这 1/ 4 个周期中应当是随相位差的增大而出现渐变的过程. 46 物理与工程 Vol. 19 No. 1 1. 2 两个振动初相位均不为零时的振动合成 在对 1. 1 节的结果讨论中 ,仅仅涉及了当 y 方向初相位为零时的初相位差问题. 然而这种选取方式是否对相位差的讨论具有一般性呢 ? 为此设计进行了第二次实验 ,用于探究当双方向振动 初相位同时赋值时的轨迹情况
