LDPC的密度进化 density evolution

一般译码和密度演进流程分析：

密度进化是对PDF的传递，其threshold是对迭代后的PDF求积分，求出BER后的判断——是否达到设定的BER需求。所以中间迭代的值都是PDF函数（高斯近似理论中，因为AWGN信道的LLR值呈现N(mu，2mu)的分布，所以也假设中间迭代的PDF统计结果依然符合N（mu，2mu）的分布，迭代过程中的PDF使用均值进行计算就可以简化，而EXIT图是基于迭代后的分布的互信息的计算求得）。

规则码的变量和校验节点更新步骤中参与的节点数目都相等，所以更新中PDF的卷积次数相同；不规则码的变量和校验节点更新步骤中参与的节点数目不相等，所以要根据度分布多项式来求迭代后的平均值。

AWGN信道中，变量节点更新时，是高斯变量（LLR）的求和过程，即PDF函数卷积，卷积后的分布均值为参与卷积的PDF均值之和，方差也为PDF方差之和，所以变量节点的更新过程将更新后的PDF均值幅值变大，方差也变大。

校验节点更新时，通过对box-plus 运算的仿真，发现更新后的PDF均值幅度变小，方差也变小。

所以VNU CNU之间迭代时，不断地在对迭代后的PDF进行方差和均值的修正，努力使BER达到threshold。

（那么，可不可以从这点出发找到使得BER快速趋于0的PDF运算，然后反向操作找到对应的improved译码过程？）

密度进化流程

（1）设定参数：

给定当前码字，密度进化是在无环假设下进行的根据稀疏校验矩阵度分布进行的所传递PDF的迭代，所以码字由度分布确定，规则码由度分布常量表示，不规则码由度分布多项式表示；设定目标，即当前码字设计在其工作环境下的ber；信道参数，可以是BEC的删除概率，可以是BSC的转移概率，可以是AWGN的噪声方差，通过调整信道参数来求得满足要求的ber下的信道参数阈值；

（2）迭代步骤：

连续密度进化推导

离散密度进化推导

Regular Density Evolution version 0.1.1
Copyright (C) by Andrew W. Eckford

实现方法：

This package contains MATLAB scripts which implement Richardson and Urbanke's density evolution technique to find the ultimate performance of LDPC codes in memoryless channels.

实现内容：

量化规则LDPC和非规则LDPC的密度进化，当量化步长无限小的时候，也就是Bi-AWGN信道输出时的密度进化了吧。

本代码是基于Richardson and Urbanke2001年发表的IT文章进行的实现——The Capacity of Low-Density Parity-Check Codes Under Message-Passing Decoding，下文提到的box-plus离散算法是他们在CL中提出的——On the Design of Low-Density Parity-Check Codes within 0.0045 dB of the Shannon Limit。

使用例子：

例1：二元对称信道，转移概率8.394%，规则LDPC

% 量化信道输入，输入幅度划分为6001等份chan = zeros(1,6001); % chan（3000）为0均值点，所以chan(3240)是正确概率，chan(2762)是错误转移概率chan(3240) = 91.606; % 注意这里是离散的PMF，概率质量函数，所以sum（value*interval）=1chan(2762) = 8.394;% 量化输入的数据格式，此格式为将输入映射到[-30,30]区间，6000等份量化ext = [-30 0.01 6001];% 中间校验节点复杂函数的量化，后续待研究mapping = [-10 0.0002 50000];% 变量节点重量dv = 3;% 校验节点重量dc = 6;% 迭代次数，在此信道下，该码经过100多次迭代可以达到10^-6的错误率，与 The Capacity of Low-Density Parity-Check Codes Under Message-Passing Decoding 中Table I的结论对应iter = 200;% 目标ber （不断改变DE条件，使得输出的threshold逼近目标）stop_pe = 1e-6;% 函数调用result_pe = de_regular(chan,iter,ext,mapping,stop_pe,dv,dc)% 输出result_pe =0.0839 0.0788 0.0756 0.0730 0.0710

例2：二输入对称AWGN输出信道，规则LDPC

chan = zeros(1,6001);ext = [-30 0.01 6001];% LLR input quantization mapping = [-10 0.0002 50000];% 内部迭代计算PDF时的量化（离散计算） quantizaiton for check node valuesdv = 3;dc = 6;iter = 20;stop_pe = 1e-5;% squre root of variance for Guassnoise=1.0; % 高斯信道的量化，用补误差函数erfc（）计算量化值chan=chan_mess(ext,noise);result_pe = de_regular(chan,iter,ext,mapping,stop_pe,dv,dc)

例3 : 二输入对称AWGN输出信道，非规则LDPC

ext = [-30 0.01 6001]; mapping = [-10 0.0002 50000];iter = 100;stop_pe = 1e-5; % 度分布多项式vard(1,:)=[0 0.2895 0.3158 0 0 0.3947];chkd(1,:)=[ 0 0 0 0 0 0.9032 0.0968];% squre root of variance for Guass % 噪声从低到高，步长为ns_stp, 逐步试出符合stop_pe的thresholdns_str_low=0.9; ns_str_high=0.94;ns_stp=0.01; % 包括了信道信息的统计 threshold=threshold_tst(vard,chkd,ns_str_low,ns_str_high,ns_stp,ext,mapping,iter,stop_pe);