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左手系与右手系的旋转正方向点的转换旋转的转换旋转矩阵四元数结论X轴取反Y轴取反Z轴取反本文描述了左右手坐标系的数据转换过程，其中包括点，平移，旋转（旋转矩阵，四元数）。以不同手系中点的转换出发，详细推导了旋转矩阵以及四元数的转换过程，并且在文末的结论中给出了三种情况下（X轴取反，Y轴取反，Z轴取反）的平移（点）和旋转的转换（旋转矩阵，四元数）。
参考：左右手坐标系的数据转换
左手系与右手系的旋转正方向
判断方法：大拇指指向旋转轴正方向，剩余四个手指弯曲方向为旋转正方向。可以看出左手系中旋转正方向是顺时针，右手系中旋转正方向是逆时针
点的转换
点在左右手系中的转换最简单，只需要将某一个轴分量取反。以Z轴取反为例，右手系中的点Pr(x,y,z)在左手系中转换为点Pl(x,y,-z)，用矩阵表示为：
Pl=[xy−z]=[10001000−1][xyz]=STPrP_l=\begin{bmatrix} x\\y\\-z\\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\y\\z\end{bmatrix}=S_TP_r Pl=⎣⎡xy−z⎦⎤=⎣⎡10001000−1⎦⎤⎣⎡xyz⎦⎤=STPr
点的转换矩阵为：
ST=[10001000−1]S_T= \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix} ST=⎣⎡10001000−1⎦⎤
旋转的转换
旋转矩阵
假设一个右手系中的旋转矩阵为：
Rr=[r00r01r02r10r11r12r20r21r22]R_r=\begin{bmatrix}r_{00}&r_{01}&r_{02}\\r_{10}&r_{11}&r_{12}\\r_{20}&r_{21}&r_{22}\end{bmatrix} Rr=⎣⎡r00r10r20r01r11r21r02r12r22⎦⎤
输入一个点Pr(x,y,z)经过该矩阵变换后输出点Pr’(x’,y’,z’)：
Pr′=[x′y′z′]=[r00r01r02r10r11r12r20r21r22][xyz]=RrPrP'_r= \begin{bmatrix} x'\\y'\\z'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}r_{00}&r_{01}&r_{02}\\r_{10}&r_{11}&r_{12}\\r_{20}&r_{21}&r_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}=R_rP_r Pr′=⎣⎡x′y′z′⎦⎤=⎣⎡r00r10r20r01r11r21r02r12r22⎦⎤⎣⎡xyz⎦⎤=RrPr
在左手系中，输入和输出的Z轴分量都取反，于是在左手系中的变换为Pl=(x,y,−z)→(x′,y′,−z′)=Pl′P_l=(x,y,-z)\rightarrow (x',y',-z')=P_l' Pl=(x,y,−z)→(x′,y′,−z′)=Pl′
又
Pl′=STPr′=STRrPr=STRrSTPlP_l'=S_TP_r'=S_TR_rP_r=S_TR_rS_TP_l Pl′=STPr′=STRrPr=STRrSTPl
因此，在左手系中的旋转矩阵变为：
Rl=STRrSTR_l=S_TR_rS_T Rl=STRrST
可以理解为在左手系中将该旋转拆分为三步：
将左手系中的点变换到右手系中根据右手系中的旋转矩阵进行旋转将旋转后的点变换到左手系中
将点转换矩阵带入计算：
Rl=[10001000−1][r00r01r02r10r11r12r20r21r22][10001000−1]=[r00r01−r02r10r11−r12−r20−r21r22]R_l=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}r_{00}&r_{01}&r_{02}\\r_{10}&r_{11}&r_{12}\\r_{20}&r_{21}&r_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}r_{00}&r_{01}&-r_{02}\\r_{10}&r_{11}&-r_{12}\\-r_{20}&-r_{21}&r_{22}\end{bmatrix}Rl=⎣⎡10001000−1⎦⎤⎣⎡r00r10r20r01r11r21r02r12r22⎦⎤⎣⎡10001000−1⎦⎤=⎣⎡r00r10−r20r01r11−r21−r02−r12r22⎦⎤
四元数
由旋转矩阵转四元数的转换公式可得：
q0l=1+tr(Rl)2=q0q1l=−r12−(−r21)4q0=−r12−r214q0=−q1q2l=−r20−(−r02)4q0=−r20−r024q0=−q2q3l=r01−r104q0=q3q_{0l}=\frac{\sqrt{1+tr(R_l)}}{2}=q_0\\ q_{1l}=\frac{-r_{12}-(-r_{21})}{4q_0}=-\frac{r_{12}-r_{21}}{4q_0}=-q_1\\ q_{2l}=\frac{-r_{20}-(-r_{02})}{4q_0}=-\frac{r_{20}-r_{02}}{4q_0}=-q_2\\ q_{3l}=\frac{r_{01}-r_{10}}{4q_0}=q_3 q0l=21+tr(Rl)=q0q1l=4q0−r12−(−r21)=−4q0r12−r21=−q1q2l=4q0−r20−(−r02)=−4q0r20−r02=−q2q3l=4q0r01−r10=q3
结论
X轴取反
点转换矩阵：
ST=[−100010001]S_T= \begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} ST=⎣⎡−100010001⎦⎤
旋转矩阵:
[r00−r01−r02−r10r11r12−r20r21r22]\begin{bmatrix}r_{00}&-r_{01}&-r_{02}\\-r_{10}&r_{11}&r_{12}\\-r_{20}&r_{21}&r_{22}\end{bmatrix} \\ ⎣⎡r00−r10−r20−r01r11r21−r02r12r22⎦⎤
四元数：
q0l=q0q1l=q1q2l=−q2q3l=−q3q_{0l}=q_0\\ q_{1l}=q_1\\ q_{2l}=-q_2\\ q_{3l}=-q_3 q0l=q0q1l=q1q2l=−q2q3l=−q3
Y轴取反
点转换矩阵：
ST=[1000−10001]S_T= \begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix} ST=⎣⎡1000−10001⎦⎤
旋转矩阵:
[r00−r01r02−r10r11−r12r20−r21r22]\begin{bmatrix}r_{00}&-r_{01}&r_{02}\\-r_{10}&r_{11}&-r_{12}\\r_{20}&-r_{21}&r_{22}\end{bmatrix} \\ ⎣⎡r00−r10r20−r01r11−r21r02−r12r22⎦⎤
四元数：
q0l=q0q1l=−q1q2l=q2q3l=−q3q_{0l}=q_0\\ q_{1l}=-q_1\\ q_{2l}=q_2\\ q_{3l}=-q_3 q0l=q0q1l=−q1q2l=q2q3l=−q3
Z轴取反
点转换矩阵：
ST=[10001000−1]S_T= \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix} ST=⎣⎡10001000−1⎦⎤
旋转矩阵:
[r00r01−r02r10r11−r12−r20−r21r22]\begin{bmatrix}r_{00}&r_{01}&-r_{02}\\r_{10}&r_{11}&-r_{12}\\-r_{20}&-r_{21}&r_{22}\end{bmatrix} \\ ⎣⎡r00r10−r20r01r11−r21−r02−r12r22⎦⎤
四元数：
q0l=q0q1l=−q1q2l=−q2q3l=q3q_{0l}=q_0\\ q_{1l}=-q_1\\ q_{2l}=-q_2\\ q_{3l}=q_3 q0l=q0q1l=−q1q2l=−q2q3l=q3
