普通高中课程标准实验教科书(必修)数学2

普通高中课程标准实验教科书(必修)数学2_学习笔记

1、空间几何体的结构

只考虑物体的形状和大小,不考虑其他因素,由这些物体抽象出来的空间图形叫空间几何体.

由若干个平面多变形围成的几何体叫多面体.围成多面体的各个多边形叫多面体的面.相邻两个面的公共边叫多面体的棱.棱与棱的公共点叫多面体的顶点.

由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的的封闭几何体叫旋转体.这条定直线叫旋转体的轴.

1.1、柱,锥,台,球

有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫棱柱.棱柱中,这两个互相平行的面叫棱柱的底面,简称底.其余各面叫棱柱的侧面.相邻侧面的公共边叫棱柱的侧棱.侧面与底面的公共顶点叫棱柱的顶点.底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱…一般用底面各顶点的字母表示棱柱.

有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫棱锥(pyramid).这个多边形面叫棱锥的底面或底.有公共顶点的各个三角形面叫棱锥的侧面.各侧面的公共顶点叫棱锥的顶点.相邻侧面的公共边叫棱锥的侧棱.底面是三角形、四边形、五边形…的棱锥分别叫三棱锥、四棱锥、五棱锥…其中三棱锥又叫四面体.棱锥用顶点和底面各顶点的字母表示.

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分,这样的多面体叫棱台(frustum of a pyramid).原棱锥的底面和截面分别叫棱台的下底面和上底面.棱台也有侧面,侧棱,顶点.由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台分别叫三棱台、四棱台、五棱台…

以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆柱(circular cylinder).旋转轴叫圆柱的轴.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫圆柱的底面.平行于轴的边旋转而成的曲面叫圆柱的侧面.无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫圆柱侧面的母线.

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥(circular cone),圆锥也有轴,底面侧面和母线.

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫圆台(frustum of a cone).棱台与圆台统称为台体.

以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周所形成的的旋转体叫球体(lolid sphere),简称球.半圆的圆心叫球的球心,半圆的半径叫球的半径.半圆的直径叫球的直径.

简单组合体有两种,一种是由上述几个简单几何体(柱体,椎体,台体,球体)拼接而成,另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.

1.2、空间几何体的三视图和直观图

三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形;

直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形.

由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫投影.这里的光线叫投影线,把留下物体影子的屏幕叫投影面.

把光由一点向外散射形成的投影,叫中心投影.

由一束平行光线照射所形成的投影叫平行投影,投影线正对着投影面时,叫正投影,否则叫斜投影.

几何体的正视图:光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图;

几何体的侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图;

几何体的俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图;

几何体的正视图,侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.

几何体的侧视图和正视图高度一样,俯视图和正视图的长度一样,侧视图与俯视图的宽度一样.

斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图:已知x 轴和 y 轴交叉垂直,做x′x'x′轴和y′y'y′轴,使x′x'x′轴与 x 轴平行,y′y'y′轴与x′x'x′轴交叉,且夹角是45°45°45°,平行于x 轴和 y 轴的线段分别画成平行于x′x'x′轴和y′y'y′轴,并使平行于x 轴的线段长度不变,平行于y 轴的线段长度是原来的一半.

斜二测画法画水平放置的长方体的直观图:原理同画正六边形的直观图类似,x′x'x′轴和y′y'y′轴夹角是45°45°45°,x′x'x′轴和z′z'z′垂直,x′x'x′轴和z′z'z′轴上的线段长度不变,y′y'y′轴上的线段长度变为一半.

1.3、空间几何体的表面积与体积

表面积是几何体表面的面积,它表示几何体表面的大小,体积是几何体所占空间的大小.

圆柱的表面积:S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)S=2πr^2+2πrl=2πr(r+l)S=2πr2+2πrl=2πr(r+l);

圆锥的表面积:S=πr2+πrlS=πr^2+πrlS=πr2+πrl=πr(r+l);

圆台的表面积:S=π(r′2+r2+r′l+rl)S=π(r'^2+r^2+r'l+rl)S=π(r′2+r2+r′l+rl);

柱体,椎体,台体的体积公式:

V柱体=ShV_{柱体}=ShV柱体=Sh,其中 S 是底面积,h 是柱体高;

V锥体=13ShV_{锥体}=\frac{1}{3}ShV锥体=31Sh,其中 S 是底面积,h 是锥体高;

V台体=13(S′+S′S+S)hV_{台体}=\frac{1}{3}(S'+\sqrt[]{S'S}+S)hV台体=31(S′+S′S+S)h,其中 S′S'S′,S 分别是上下底面面积,h 为台体高;

球的表面积:S=4πR2S=4πR^2S=4πR2

球的体积:V=43πR3V=\frac{4}{3}πR^3V=34πR3

2、空间点,直线,平面之间的位置关系

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.

公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

点A在平面α内,记作 A∈α;点 B 在平面 α 外,记作 B∉α.

直线 l 在平面 α 内,记作 l⊂α;直线 l 在平面 α 外,记作 l⊄α

平面α与β相交于直线l,记作 α∩β=l.

公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.

定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

已知两条异面直线 a,b,经过空间任一点 O 做直线 a’∥a,b’∥b,把a’与b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角).

如果两条异面直线 a 和 b 所成的角是直角,则这两条直线互相垂直,记作 a⊥b

直线在平面内,有无数公共点;

直线与平面相交,有且只有一个公共点;

直线与平面平行,没有公共点;

直线与平面平行或相交的情况,统称为直线在平面外.

平面与平面相交,有一条公共直线;

两个平面平行,没有公共点;

定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.

定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.

定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.

定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么他们的交线平行.

如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直,则直线 l 与平面 α 互相垂直,记作 l⊥α,直线 l 叫平面 α的垂线,平面 α 叫直线 l 的垂面.公共点 P 叫垂足.

定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.直线垂直于平面,所成角是直角,直线平行于平面,所成的角是 0° 的角.

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(dihedral angle),这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫二面角的面.

在二面角 α-l-β 的棱 l 上任取一点 O,以点 O 为垂足,在半平面 α 和 β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB,则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角.

定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.

定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.

定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

3、直线与方程

3.1、直线的倾斜角与斜率

直线 l 与 x 轴相交,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 α 角直线 l 的倾斜角(angle of inclination),倾斜角 α 的取值范围是 0°≤α＜180°.

一条直线的倾斜角 α 的正切值叫这条直线的斜率(slope).用字母 k表示斜率,即 k=tan⁡αk=\tan{α}k=tanα,倾斜角是 90° 的直线没有斜率.

经过两点 P1(x1,y1,P2(x2,y2)(x1≠x2)P_1(x_1,y_1,P_2(x_2,y_2) (x_1≠x_2)P1(x1,y1,P2(x2,y2)(x1=x2) 的直线的斜率公式:k=y2−y1x2−x1k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}k=x2−x1y2−y1.

3.2、两条直线垂直与平行的判定

在两条直线 l1,l2l_1,l_2l1,l2 不重合时,有 l1∥l2⇔k1=k2l_1∥l_2⇔k_1=k_2l1∥l2⇔k1=k2;

l1⊥l2⇔k1k2=−1l_1⊥l_2⇔k_1k_2=-1l1⊥l2⇔k1k2=−1.

3.3、直线方程

方程 y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0)y−y0=k(x−x0)由直线上一定点(x0,y0x_0,y_0x0,y0)及其斜率 k 确定,即点斜式方程,简称点斜式(point slope form),

方程 y=kx+by=kx+by=kx+b,其中 b 叫直线 l 在 y 轴上的截距(intercept),由直线的斜率 k 和在 y 轴上的截距 b 确定,这种方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式(slope intercept form)

经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)P1(x1,y1),P2(x2,y2) 的直线方程, y−y1y2−y1=x−x1x2−x1\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}y2−y1y−y1=x2−x1x−x1,其中 x1≠x2,y1≠y2x_1≠x_2,y_1≠y_2x1=x2,y1=y2,直线的两点式方式,简称两点式(two-point form)

二元一次方程 Ax+By+C=0Ax+By+C=0Ax+By+C=0 (其中 A,B 不同时为 0) 叫直线的一般式方程,简称一般式(general form).

3.4、直线的焦点坐标与距离公式

两条直线的方程联立得到方程组:

{A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1=0 \\\\ A_2x+B_2y+C_2=0 \\\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0

若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程无解,则两条直线没有公共点,即平行.

两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)P1(x1,y1),P2(x2,y2) 的距离公式: ∣P1P2∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2|P_1P_2|=\sqrt[]{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}∣P1P2∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2.

点 P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0(x0,y0) 到直线 l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0 的距离公式如下:

d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt[]{A^2+B^2}} d=A2+B2∣Ax0+By0+C∣

两条平行直线间的距离即:夹在两条平行直线间公垂线段的长.

4、圆与方程

4.1、圆的方程

(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2(x−a)2+(y−b)2=r2表示圆心为(a,b),半径为 r 的圆的标准方程(standard equation of circle).

圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2+y^2+Dx+Ey+F=0x2+y2+Dx+Ey+F=0;

配方得:

(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2−4F4(x+\frac{D}{2})^2+(y+\frac{E}{2})^2=\frac{D^2+E^2-4F}{4} (x+2D)2+(y+2E)2=4D2+E2−4F

当 D2+E2−4F4=0\frac{D^2+E^2-4F}{4}=04D2+E2−4F=0 时,图形是一个点(−D2,−E2-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}−2D,−2E);

当 D2+E2−4F4<0\frac{D^2+E^2-4F}{4}<04D2+E2−4F<0 时,不表示任何图形;

当 D2+E2−4F4>0\frac{D^2+E^2-4F}{4}>04D2+E2−4F>0 时,图形是一个圆,圆心是(−D2,−E2-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}−2D,−2E),半径是 D2+E2−4F4\sqrt[]{\frac{D^2+E^2-4F}{4}}4D2+E2−4F;