1、常用逻辑用语
1.1、命题及其关系
用语言、符号、或式子表达,可以判断真假的陈述句叫做命题(proposition),其中判断为真的语句叫做真命题(true proposition),判断为假的语句叫做假命题(false proposition).
如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,这两个命题叫做互逆命题.其中一个叫原命题(original proposition),另一个叫原命题的逆命题(inverse proposition).例:“若 p 则 q”,“若 q 则 p”.
如果一个命题的条件和结论是另一个命题的条件的否定和结论的否定,这两个命题叫做互否命题.其中一个叫原命题,另一个叫原命题的否命题(negative proposition). 例:“若 p 则 q”,“若 ¬p 则 ¬q”.
如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论的否定和条件的否定,这两个命题叫做互为逆否命题.其中一个叫原命题,另一个叫原命题的逆否命题(inverse and negative proposition). 例:“若 p 则 q”,“若 ¬q 则 ¬p”.
四种命题关系图如下:
四种命题的真假性的关系如下:
两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系;
1.2、充分条件与必要条件
如果 “若 p,则q” 为真命题,记作 p⇒q,则 p 是 q 的充分条件(sufficient condition),q 是 p 的必要条件(necessary condition).
如果既有 p⇒q,又有 q⇒p,就记作 p⇔q,此时 p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件(sufficient and necessary condition).
1.3、简单的逻辑连接词
且(and):符号为 ∧;两个命题同时为真时才是真命题.
或(or):符号为 ∨;两个命题同时为假时才是假命题.
非(not):符号为 ¬;p 是真命题,则 ¬p 必假;p是假命题,则 ¬p 必真.
1.4、全称量词与存在量词
短语"所有的"“任意一个”“一切”“每一个”"任给"在逻辑中通常叫做全称量词(universal quantifier),用符号 ∀ 表示.有全称量词的命题叫全称命题.
短语"存在一个"“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”"有的"在逻辑学中通常叫做存在量词(existential quantifier),用符号 ∃ 表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.
全称命题的否定是特称命题.
特称命题的否定是全称命题.
2、圆锥曲线与方程
圆,椭圆,抛物线,双曲线统称为圆锥曲线(conic sections).
曲线的方程:曲线上点的坐标都是这个方程的解,以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,这个方程叫曲线的方程,这条曲线叫方程的曲线.
2.1、椭圆
平面内与两个定点 F 1 , F 2 F_1,F_2 F1,F2的距离的和等于常数(大于| F 1 F 2 F_1F_2 F1F2|)的点的轨迹叫椭圆(ellipse).这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点之间的距离叫椭圆的焦距.
椭圆的标准曲线方程:
x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) . \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0). a2x2+b2y2=1(a>b>0).
其中,a 是椭圆的长半轴长,b 是椭圆的短半轴长.
c 2 = a 2 − b 2 c^2=a^2-b^2 c2=a2−b2,其中 c 是焦点的横坐标.
e = c a e=\frac{c}{a} e=ac 叫椭圆的离心率. 0<e<1,e 越接近 1,椭圆越扁平;e 越接近 0,椭圆越接近圆.
2.2、双曲线
平面内与两个定点 F 1 , F 2 F_1,F_2 F1,F2 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于$|F_1F_2|)) 的点的轨迹叫双曲线(hyperbola).这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫双曲线的焦距.
双曲线的标准曲线方程:
x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 ( a > 0 , b > 0 ) \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 (a>0,b>0) a2x2−b2y2=1(a>0,b>0)
c 2 = a 2 + b 2 c^2=a^2+b^2 c2=a2+b2,其中 c 是焦点的横坐标.双曲线实轴长是 2a,虚轴长是 2b.
实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.
e = c a e=\frac{c}{a} e=ac 叫双曲线的离心率,e>1.
渐近线方程:
x a ± y b = 0 \frac{x}{a}\pm\frac{y}{b}=0 ax±by=0
或者
y = ± b a x y=\pm\frac{b}{a}x y=±abx
2.3、抛物线
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过 F)距离相等的点的轨迹叫抛物线(parabola).点 F 叫抛物线的焦点,直线 l 叫抛物线的准线.
抛物线的标准曲线方程:
y 2 = 2 p x ( p > 0 ) y^2=2px (p>0) y2=2px(p>0)
焦点坐标是 F ( p 2 , 0 ) F(\frac{p}{2},0) F(2p,0),准线方程是 − p 2 -\frac{p}{2} −2p.
抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比较抛物线的离心率,离心率 e=1.
3、空间向量与立体几何
定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组 {x,y,z},使得p=xa+yb+zc.
向量a= ( a 1 , a 2 , a 3 ) =(a_1,a_2,a_3) =(a1,a2,a3),b= ( b 1 , b 2 , b 3 ) =(b_1,b_2,b_3) =(b1,b2,b3),则有:
a+b= ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 ) =(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3) =(a1+b1,a2+b2,a3+b3),
a-b= ( a 1 − b 1 , a 2 − b 2 , a 3 − b 3 ) =(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3) =(a1−b1,a2−b2,a3−b3),
λa= ( λ a 1 , λ a 2 , λ a 3 ) =(λa_1,λa_2,λa_3) =(λa1,λa2,λa3),
a·b= a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 a1b1+a2b2+a3b3.
a⊥b,则a·b=0,即 a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 a1b1+a2b2+a3b3=0.
另外:
c o s < a , b > = a ⋅ b ∣ a ∣ ∣ b ∣ = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 cos<\mathbf{a,b}>=\mathbf{\frac{a·b}{|a||b|}}=\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt[]{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt[]{b_1^2+b_2^2+b_3^2}} cos<a,b>=∣a∣∣b∣a⋅b=a12+a22+a32 b12+b22+b32 a1b1+a2b2+a3b3
4、参考资料
普通高中课程标准实验教科书——数学2-1（选修）[ISBN 978-7-107-18676-9].
