前置知识：
【定义】向量与向量组线性方程组与矩阵的秩
前置定理 1 n n n 元齐次线性方程组 A x = 0 \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} Ax=0 有非零解的充分必要条件是 R ( A ) < n R(\boldsymbol{A}) < n R(A)<n。
证明见 “线性方程组与矩阵的秩”。
前置定理 2 n n n 阶线性方程组 A x = b \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} Ax=b
(1) 无解的充分必要条件是 R ( A ) < R ( A , b ) R(\boldsymbol{A}) < R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}) R(A)<R(A,b)；
(2) 有唯一解的充分必要条件是 R ( A ) = R ( A , b ) = n R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}) = n R(A)=R(A,b)=n；
(3) 有无限多解的充分必要条件是 R ( A ) = R ( A , b ) < n R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}) < n R(A)=R(A,b)<n。
证明见 “线性方程组与矩阵的秩”。
定义 1给定向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1,a2,⋯,am，如果存在不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯ , k m k_1,k_2,\cdots,k_m k1,k2,⋯,km，使
k 1 a 1 + k 2 a 2 + ⋯ k m a m = 0 k_1 \boldsymbol{a}_1 + k_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots k_m \boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{0} k1a1+k2a2+⋯kmam=0
则称向量组 A A A 是线性相关的，否则称它线性无关。
当 m = 1 m=1 m=1 时，向量组只有一个向量，对于只含一个向量 a \boldsymbol{a} a 的向量组，当 a = 0 \boldsymbol{a} = 0 a=0 时是线性相关的，当 a ≠ 0 \boldsymbol{a} \ne 0 a=0 时是线性无关的。
定理 1向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m ( m ≥ 2 ) A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m \ (m \ge 2) A:a1,a2,⋯,am(m≥2) 线性相关的充分必要条件是向量组 A A A 中至少有一个向量能由其余 m − 1 m-1 m−1 个向量线性表示。
证明首先证明必要性。如果向量组 A A A 线性相关，则有不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯ , k m k_1,k_2,\cdots,k_m k1,k2,⋯,km 使 k 1 a 1 + k 2 a 2 + ⋯ k m a m = 0 k_1 \boldsymbol{a}_1 + k_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots k_m \boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{0} k1a1+k2a2+⋯kmam=0。因 k 1 , k 2 , ⋯ , k m k_1,k_2,\cdots,k_m k1,k2,⋯,km 不为为零，不妨设 k 1 ≠ 0 k_1 \ne 0 k1=0，于是便有
a 1 = − 1 k 1 ( k 2 a 2 + ⋯ k m a m ) \boldsymbol{a}_1 = \frac{-1}{k_1} (k_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots k_m \boldsymbol{a}_m) a1=k1−1(k2a2+⋯kmam)
即 a 1 \boldsymbol{a}_1 a1 能由 a 2 , ⋯ , a m \boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m a2,⋯,am 线性表示。
接着证明充分性。如果向量组 A A A 中某个向量能由其余 m − 1 m-1 m−1 个向量线性表示，不妨设 a m \boldsymbol{a}_m am 能由 a 1 , ⋯ , a m − 1 \boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_{m-1} a1,⋯,am−1 线性表示，即有 λ 1 , ⋯ , λ m − 1 \lambda_1,\cdots,\lambda_{m-1} λ1,⋯,λm−1 使 a m = λ 1 a 1 + ⋯ + λ m − 1 a m − 1 \boldsymbol{a}_m = \lambda_1 \boldsymbol{a}_1 + \cdots + \lambda_{m-1} \boldsymbol{a}_{m-1} am=λ1a1+⋯+λm−1am−1，于是
λ 1 a 1 + ⋯ + λ m − 1 a m − 1 + ( − 1 ) a m = 0 \lambda_1 \boldsymbol{a}_1 + \cdots + \lambda_{m-1} \boldsymbol{a}_{m-1} + (-1)\boldsymbol{a}_m = 0 λ1a1+⋯+λm−1am−1+(−1)am=0
因为 − 1 ≠ 0 -1 \ne 0 −1=0，所以 λ 1 , ⋯ , λ m − 1 , − 1 \lambda_1,\cdots,\lambda_{m-1},-1 λ1,⋯,λm−1,−1 这 m m m 个数不全为零，进而向量组 A A A 线性相关。
定理 2向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1,a2,⋯,am 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) A=(a1,a2,⋯,am) 的秩小于向量个数 m m m；向量组 A A A 线性无关的充分必要条件是 R ( A ) = m R(\boldsymbol{A}) = m R(A)=m。
证明记向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1,a2,⋯,am 构成的矩阵为 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) A=(a1,a2,⋯,am)。
根据定义 1：向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1,a2,⋯,am 线性相关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 齐次线性方程组 x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ x m x n = 0 x_1 \boldsymbol{a}_1 + x_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots x_m \boldsymbol{x}_n = \boldsymbol{0} x1a1+x2a2+⋯xmxn=0 有非零解。
根据前置定理 1：齐次线性方程组 x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ x m x n = 0 x_1 \boldsymbol{a}_1 + x_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots x_m \boldsymbol{x}_n = \boldsymbol{0} x1a1+x2a2+⋯xmxn=0 有非零解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ R ( A ) < m R(\boldsymbol{A}) < m R(A)<m。
定理 3若向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1,a2,⋯,am 线性相关，则向量组 B : a 1 , a 2 , ⋯ , a m , a m + 1 B:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m,\boldsymbol{a}_{m+1} B:a1,a2,⋯,am,am+1 也线性相关。反之，若向量组 B B B 线性无关，则向量组 A A A 也线性无关。
证明记 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) A=(a1,a2,⋯,am)， B = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m , a m + 1 ) \boldsymbol{B} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m,\boldsymbol{a}_{m+1}) B=(a1,a2,⋯,am,am+1)，显然有 R ( B ) ≤ R ( A ) + 1 R(\boldsymbol{B}) \le R(\boldsymbol{A}) + 1 R(B)≤R(A)+1。
若向量组 A A A 线性相关，则根据定理 2，有 R ( A ) < m R(\boldsymbol{A}) < m R(A)<m，从而 R ( B ) ≤ R ( A ) + 1 < m + 1 R(\boldsymbol{B}) \le R(\boldsymbol{A}) + 1 < m + 1 R(B)≤R(A)+1<m+1；根据定理 2，向量组 B B B 线性相关。
若向量组 B B B 线性无关，则根据定理 2，有 R ( B ) = m + 1 R(\boldsymbol{B}) = m+1 R(B)=m+1，从而 R ( A ) ≥ R ( B ) − 1 = m R(\boldsymbol{A}) \ge R(\boldsymbol{B}) - 1 = m R(A)≥R(B)−1=m；因为 A \boldsymbol{A} A 只有 m m m 列，所以 R ( A ) ≤ m R(\boldsymbol{A}) \le m R(A)≤m，于是 R ( A ) = m R(\boldsymbol{A}) = m R(A)=m；根据定理 2，向量组 A A A 线性无关。
定理 3 是对向量组增加 1 个向量而言的，增加多个向量结论也仍然成立。即设向量组 A A A 是向量组的 B B B 的一部分（这时称向量组 A A A 是向量组 B B B 的部分组），于于是定理 3 可一般地叙述为：一个向量组若有线性相关的部分组，则该向量组线性相关。特别地，含零向量的向量组必线性相关。一个向量组若线性无关，则它的任何部分组都线性无关。
定理 4 m m m 个 n n n 维向量组成的向量组，当维度 n n n 小于向量个数 m m m 时一定线性相关。特别地 n + 1 n+1 n+1 个 n n n 维向量一定线性相关。
证明 m m m 个 n n n 维向量 a 1 , a 2 , ⋯ , a m \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m a1,a2,⋯,am 构成矩阵 A n × m = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) \boldsymbol{A}_{n \times m} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) An×m=(a1,a2,⋯,am)，显然有 R ( A ) ≤ n R(\boldsymbol{A}) \le n R(A)≤n。因为 n < m n < m n<m，所以 R ( A ) ≤ n < m R(\boldsymbol{A}) \le n < m R(A)≤n<m。根据定理 2， m m m 个向量 a 1 , a 2 , ⋯ , a m \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m a1,a2,⋯,am 线性相关。
定理 5设向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1,a2,⋯,am 线性无关，而向量组 B : a 1 , a 2 , ⋯ , a m , b B:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m,\boldsymbol{b} B:a1,a2,⋯,am,b 线性相关，则向量 b \boldsymbol{b} b 必能由向量组 A A A 线性表示，且表达式是唯一的。
证明记 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) A=(a1,a2,⋯,am)， B = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m , b ) \boldsymbol{B} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m,\boldsymbol{b}) B=(a1,a2,⋯,am,b)，显然有 R ( A ) ≤ R ( B ) R(\boldsymbol{A}) \le R(\boldsymbol{B}) R(A)≤R(B)。因为向量组 A A A 线性无关，所以 R ( A ) = m R(\boldsymbol{A}) = m R(A)=m。因为向量组 B B B 线性相关，所以 R ( B ) < m + 1 R(\boldsymbol{B}) < m+1 R(B)<m+1。因为 m = R ( A ) ≤ R ( B ) < m + 1 m = R(\boldsymbol{A}) \le R(\boldsymbol{B}) < m + 1 m=R(A)≤R(B)<m+1，所以 R ( B ) = m R(\boldsymbol{B}) = m R(B)=m。
根据前置定理 2 可知，因为 R ( A ) = R ( B ) = m R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B}) = m R(A)=R(B)=m，所以方程组 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) x = b (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} (a1,a2,⋯,am)x=b 有唯一解，从而向量 b \boldsymbol{b} b 能由向量组 A A A 线性表示，且表达式是唯一的。
