给定所求二重积分方程所围区域D的方程求二重积分的值交换二重积分的积分次序使用极坐标求二重积分
二重积分一般有三个考点
给定所求二重积分方程、所围区域D的方程求二重积分的值
这是考的最多的一点
例如
计算∬xydσ ，其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭区域
一般做题思路：
1、闭区域自然是封闭的，在画图之前先求出交点（1,1）（2,2），画出图像
如上图所示，D即是要求的闭区域
2、把D看做X型区域，然后就开始求x，y的范围
因为把D看做X型区域所以1≤x≤2(注意x的上下限都是常数)，1≤y≤x（特别注意D区域因为y=x在上面，y=1在下面所以得到这样的关系）
另外如果把D区域看做Y型区域（可以把上面的图像逆时针旋转九十度）
把D看做Y型区域，然后就开始求x，y的范围
因为把D看做Y型区域所以1≤y≤2(注意y的上下限都是常数)，y≤x≤2（特别注意D区域因为y=2在上面,x=y在下面所以得到这样的关系，与X型区域作比较）
交换二重积分的积分次序
简单的二重积分（x与y的上下限中只有一个函数）
例如
交换下列二重积分的积分次序
由题意，积分区域D为Y型区域，1≤y≤2, 0≤x≤lny
转换成X型区域 想象下 lny函数必定在上面，所以x的最大值在y=2处取得，即x≤ln2
得0≤x≤ln2
x≤lny 化简得 y≥ex 得ex≤y≤2
复杂的二重积分
例如
交换下列二重积分的积分次序
由题意得，积分区域D为X型区域，0≤x≤1，x≤y≤2-x
所以y=x y=2-x
如上图所示，需要分段，用直线y=1分成D1和D2两部分
D1={(x,y)| 0≤y≤1,0≤x≤y}
D2={(x,y)| 1≤y≤2,0≤x≤2-y}
使用极坐标求二重积分
一般是求圆和圆弧的闭区域
将常规的x,y分别换成ρcosθ,ρsinθ
假设积分局域D可以用不等式 α≤ρ≤β，φ1≤θ≤φ2 ，其他条件忽略
具体步骤不写了~
