(给算法爱好者加星标,修炼编程内功)
来源:十年踪迹的博客
/post/range-sum-query-immutable.html
这是一道翻译小组的同学问我的题目,这道题很有意思,在 leetcode 上标记的难度为 Easy, 然而正确率出奇地低,只有不到 25%,看来这是一道看似简单实际上颇有挑战性的题目。
不可变数组的范围求和
给定一个整数数组 nums,计算出从第 i 个元素到第 j 个元素的和 ( i ≤ j ),包括 nums[ i ] 和 nums[ j ]。
例子:
constnums=Object.freeze([-2,0,3,-5,2,-1]);sumRange(0, 2) -> 1sumRange(2, 5) -> -1sumRange(0, 5) -> -3
注意:
1、假定数组的值不会改变(如上面代码,nums 因为 Object.freeze 的缘故可读不可写)
2、sumRange 可能会被使用很多次,求不同范围的值
3、数组可能规模很大(比如超过 10000 个数),注意运行时间
解题思路
这道题看起来十分简单对吧,简单写一个函数应该谁都会:
简单实现
function sumRange(i, j){ var sum = 0; for(; i <= j; i++){sum += nums[i]; } return sum;}
不过呢,这么写,对照上面的注意事项,尤其是后两条:
sumRange 可能会被使用很多次
数组的规模可能会很大
如果考虑这两条,那么上面的方法可以说是十分慢的,这也是为什么很多人在 leetcode 提交代码通不过,因为简单这么算的话,跑 leetcode 的大数组 case 肯定超时。
那么,我们要怎么做才能更快呢?注意到前面说的这是不可变数组了吧?也就是说数组初始化完成之后,它的值不会改变,因此我们可以对它进行拷贝,同时“重新编码”。
具体怎么做,大家心里是不是已经隐隐有答案了?让我们思考30秒钟然后继续 ——
重构数组
我们可以重新创建一个数组类,用新的数组来计算 sumRange:
重构数组
const Immutable = Sup => class extends Sup { constructor(...args){ super(...args); Object.freeze(this); }}class NumArray extends Immutable(Array){sumRange(i, j){ let sum = 0; for(; i <= j; i++){sum += this[i]; } return sum;}}
上面的代码里面我们重构了数组,这里我用了一点点小技巧来让数组元素不可变,这个技巧在我之前的一篇译文“六个漂亮的 ES6 技巧”中被提到,很多同学不理解那篇文章的第6个技巧,在这里我使用了一下,当然这无关我们今天讨论的主题。
于是我们可以用新的数组对象来计算 sumRange:
varnums=newNumArray(-2,0,3,-5,2,-1);nums.sumRange(0, 2) -> 1nums.sumRange(2, 5) -> -1nums.sumRange(0, 5) -> -3
到这里为止,我们似乎并没有改变什么,我们只是继承了 Array 类,把 sumRange 改成了对象的方法而已,它还是一样很慢。
那接下来我们要怎么做呢?
因为前面说过了,sumRange 要被调用很多次,所以我们要尽可能减少 sumRange 调用的复杂度对吗?按照前面的方式,我们用一个循环来对从 i 到 j 进行求和,有没有更快的方法?答案是:空间换时间,查表!
查表
查表不是查水表,因为 sumRange 要计算很多次,所以我们可以事先在 NumArray 构造的时候将 sumRange 需要查的值算好存入一个表中。
二维表?
二维表可以将每一对 i, j 完全映射一个值,这样的话,空间复杂度变成了 O( n2),记得我们前面说了,这个数组可能会很大,有 10000 个元素,如果用这样的映射表,内存就溢出了。实际上,使用二维表是愚蠢的,因为我们可以很容易找到以下对应关系:
sumRange(i, j) === sumRange(0, j) - sumRange(0, i - 1); //(i > 0)
一维表
我们只需要将 NumArray 的每一个元素对应从第 1 元素开始求和,将结果保存成一个一维表,我们就可以用 O( 1 ) 时间复杂度来计算 sumRange( i, j ) !
以下是经过优化之后的 NumArray:
使用一维表
const UniqueID = Sup => class extends Sup { constructor(...args){super(...args);Object.defineProperty(this, "id", {value: Symbol(), writable: false, enumerable: false}); }}const Immutable = Sup => class extends Sup { constructor(...args){ super(...args); Object.freeze(this); }}const NumArray = (function(){ let sumTable = {}; return class extends Immutable(UniqueID(Array)){ constructor(...args){super(...args);let sum = 0;let table = [0];for(let i = 0; i < this.length; i++){sum += this[i]; table.push(sum);}sumTable[this.id] = table; } sumRange(i, j){let table = sumTable[this.id];return table[j + 1] - table[i]; } }})();
上面的代码里,我们在构造 NumArray 的时候同时创建了一个私有属性 sumTable,它的第 1 个元素是 0,第 i + 1 个元素等于 sumRange(0, i),因此我们就可以快速通过:
sumRange(i, j){ let table = sumTable[this.id]; return table[j + 1] - table[i]; }
来计算出 sumRange(i, j) 的值了。
进一步优化
上面的代码通过查表大大加快了 sumRange 的执行速度,由于数组 NumArray 是不可变的,因此我们在它被构造的时候创建好 sumTable,那么 sumRange 就完全只需要查表加上一次减法运算就可以完成了。这么做提升了 sumRange 的性能,代价是构造 NumArray 对象的时候带来额外的建表开销。
不过,我们可以不在构造对象的时候建表,而在对象的 sumRange 方法第一次被使用的时候建表。这样的话,我们就将性能开销延从构造对象时迟到了第一次使用 sumRange 时,如果恰巧某种原因,NumArray 对象没有被使用,那么 sumTable 就永远也不会被创建。看下面的代码:
将创建 sumTable 的工作放在 sumRange 第一次被调用时
const UniqueID = Sup => class extends Sup { constructor(...args){ super(...args); Object.defineProperty(this, "id", {value: Symbol(),writable: false,enumerable: false }); }};const Immutable = Sup => class extends Sup { constructor(...args){ super(...args); Object.freeze(this); }};const NumArray = (function(){ let sumTable = {}; return class extends Immutable(UniqueID(Array)){sumRange(i, j){if(!sumTable[this.id]){ let table = [0], sum = 0; for(let i = 0; i < this.length; i++){sum += this[i];table.push(sum); } sumTable[this.id] = table;}let table = sumTable[this.id];return table[j + 1] - table[i]; } }})();
以上是今天我们讨论的内容。上面的代码其实还可以优化,因为我们将建表的工作推迟到 sumRange 第一次被调用时执行,这很好,但这给 sumRange 带来了一次 if 判断操作的额外开销,实际上我们应该也有办法消除这个开销,我把这个问题留给大家吧,欢迎大家讨论。
推荐阅读
(点击标题可跳转阅读)
从一个无序数组中查询最大值的最快算法是什么?
算法数据结构-B树
觉得本文有帮助?请分享给更多人
关注「算法爱好者」加星标,修炼编程内功
好文章,我在看❤️