题目:输入一个已经按升序排序过的数组和一个数字,在数组中查找两个数,使得它们的和正好是输入的那个数字。要求时间复杂度是O(n)。如果有多对数字的和等于输入的数字,输出任意一对即可。
例如输入数组1、2、4、7、11、15和数字15。由于4+11=15,因此输出4和11。
分析:如果我们不考虑时间复杂度,最简单想法的莫过去先在数组中固定一个数字,再依次判断数组中剩下的n-1个数字与它的和是不是等于输入的数字。可惜这种思路需要的时间复杂度是O(n2)。
我们假设现在随便在数组中找到两个数。如果它们的和等于输入的数字,那太好了,我们找到了要找的两个数字;如果小于输入的数字呢?我们希望两个数字的和再大一点。由于数组已经排好序了,我们是不是可以把较小的数字的往后面移动一个数字?因为排在后面的数字要大一些,那么两个数字的和也要大一些,就有可能等于输入的数字了;同样,当两个数字的和大于输入的数字的时候,我们把较大的数字往前移动,因为排在数组前面的数字要小一些,它们的和就有可能等于输入的数字了。
我们把前面的思路整理一下:最初我们找到数组的第一个数字和最后一个数字。当两个数字的和大于输入的数字时,把较大的数字往前移动;当两个数字的和小于数字时,把较小的数字往后移动;当相等时,打完收工。这样扫描的顺序是从数组的两端向数组的中间扫描。
问题是这样的思路是不是正确的呢?这需要严格的数学证明。感兴趣的读者可以自行证明一下。
参考代码:
///// Find two numbers with a sum in a sorted array// Output: ture is found such two numbers, otherwise false///bool FindTwoNumbersWithSum(int data[], // a sorted arrayunsigned int length, // the length of the sorted arrayint sum, // the sumint& num1, // the first number, outputint& num2 // the second number, output){bool found = false;if(length < 1)return found;int ahead = length - 1;int behind = 0;while(ahead > behind){long long curSum = data[ahead] + data[behind];// if the sum of two numbers is equal to the input// we have found themif(curSum == sum){num1 = data[behind];num2 = data[ahead];found = true;break;}// if the sum of two numbers is greater than the input// decrease the greater numberelse if(curSum > sum)ahead --;// if the sum of two numbers is less than the input// increase the less numberelsebehind ++;}return found;}
扩展(1):输入一个数组,判断这个数组中是不是存在三个数字i, j, k,满足i+j+k等于0。在我的英文博客//10/no-09-numbers-with-given-sum.html里详细讨论了这个题目。
扩展(2):如果输入的数组是没有排序的,但知道里面数字的范围,其他条件不变,如何在O(n)时间里找到这两个数字?这个的基本思路是先用哈希表实现O(n)的排序(请参照本面试题系列的第57题),接下来的步骤都一样了。
本文已经收录到《剑指Offer——名企面试官精讲典型编程题》一书中,有改动,书中的分析讲解更加详细。欢迎关注。
本题已被九度Online Judge系统收录,欢迎读者移步到/hhtproblems.php在线测试自己的代码。
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