问题补充:
已知,如图1,直角梯形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=nAD,AE⊥BD于点E,过E作CE的垂线交直线AB于点F.
(1)当n=4时,则=______,=______;
(2)当n=2时,求证:BF=AF;
(3)如图2,F点在AB的延长线上,当n=______时,B为AF的中点;如图3,将图形1中的线段AD沿AB翻折,其它条件不变,此时F点在AB的反向延长线上,当n=______时,A为BF的中点.
答案:
解:(1)∵AE⊥BD,梯形ABCD是直角梯形,
∴∠AED=∠DAB,∠ADE=∠ADE,
∴△ADE∽△BDA,即∠DAE=∠ABD,
∵AE⊥BD,
∴∠AED=∠AEB,
∴△ADE∽△BDA,
∵n=4,
∴===,
∴ED=AE,AE=BE,
∴当n=4时,则=,=.
(2)证明:∵AD∥BC,
∴∠ADE=∠EBC,而∠ADE=∠BAE=90°-∠DAE,
∴∠BAE=∠EBC;
又∵∠AEF=∠BEC=90°+∠BEF,
∴△AEF∽△BEC;
当n=2时,,即AF=BC=AB;
∴BC=2AF,即F是AB的中点,AF=BF.
(3)易知∠F=∠C,∠FEA=∠BEC=90°+∠AEC(图③为90°-∠AEC),
∴△AEF∽△BEC,得:==;
即BC=nAF;
①当B是AF的中点时,AF=2AB=2BC,n=;
②当A是BF中点时,AF=AB=AC,即n=1.
解析分析:(1)根据AE⊥BD,梯形ABCD是直角梯形可求出△ADE∽△ADE,可求出∠ABD=∠DAE,由于AE⊥BD,可求出△ADE∽△BAE,根据相似三角形的性质即可解答;
(2)(3)的思路和解法一致,都是通过一对相似三角形来求解;由于∠AEB=∠CEF=90°,两角加上(或减去)一个同角后,可得∠AEF=∠BEC,而易证得∠EBC=∠ADE=∠BAE,即可得△AEF∽△BEC,然后根据这个相似三角形所得比例线段及已知的线段比例关系,来求得n的值或BF、AF的数量关系.
点评:此题主要考查的是相似三角形的判定和性质,能够准确的判断出图中的相似三角形,是解答此题的关键.
已知 如图1 直角梯形ABCD AB⊥BC AB=BC=nAD AE⊥BD于点E 过E作CE的垂线交直线AB于点F.(1)当n=4时 则=______ =______