问题补充:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AD=6,BC=12,梯形ABCD的面积为36,动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动,动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向点B运动,两点同时出发,点P到达点C时,Q点随之停止运动.
(1)线段CD的长为______;
(2)设P、Q运动时间为t(0<t<5)秒,PQ与梯形ABCD的边DC、BC所围成的三角形的面积为S,求S与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻,使以P、Q、C三点为顶点的三角形是直角三角形,若有,请求出相应时间;若没有,请说明理由.
答案:
解:(1)作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分为点E、F,则四边形ADFE是矩形,EF=AD=6,AE=DF,
由题意四边形ABCD是等腰梯形,AB=CD,∠AEB=∠DFC,
∴△ABE≌△DCF,
∴CF=BE=(BC-EF)÷2=3
∵梯形的面积为36,
∴DF=36×2÷(AD+BC)=36×2÷(6+12)=4
在Rt△CDF中,由勾股定理得CD==5;
(2)过点P作PG⊥BC于点G,则PG是△PCQ的高,有PG∥DF,
∴PG:DF=CP:CD,
∵DP=t,CD=5,DF=4,PC=CD-DP
∴PG=,
∵CQ=2t,
∴S△PCQ=CQ?PG=?2t?=
(3)当P、Q、C三点构成的三角形是直角三角形时,有两种情况:
①当PQ⊥BC时,作DE⊥BC于E,
∴PQ∥DE,
∴=,
∴=,
∴t=
②当QP⊥CD时,
∵∠QPC=∠DEC=90°,∠C=∠C,
∴△QPC∽△DEC,
∴=,=,
∴t=
由①、②知:当t=或时,P、Q、C三点构成的三角形是直角三角形
解析分析:(1)作AE⊥BC,DF⊥BC,则四边形ADFE是矩形,△ABE≌△DCF,由勾股定理可求得CD的值;
(2)过点P作PG⊥BC于点G,则PG是△PCQ的高,由平行线的性质可求得高PG用t表示的代数式,而CQ=2t,故可求得S与t的关系式;
(3)分两种情况讨论:当PQ⊥BC时,作DE⊥BC于E,由平行线分线段成比例可求解;当QP⊥CD时,可由相似三角形的性质求解.
点评:本题考查了等腰梯形的性质,利用了平行线分线段成比价的性质、相似三角形的知识.注意处级(3)小题要分两种情况讨论.
如图 在梯形ABCD中 AD∥BC AB=DC AD=6 BC=12 梯形ABCD的面积为36 动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动 动点Q从C点出