问题补充:
如图,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠ADC=90°,AB=3a,CD=2a,AD=2,点E、F分别是腰AD、BC上的动点,点G在AB上,且四边形AEFG是矩形.设FG=x,矩形AEFG的面积为y.
(1)求y与x之间的函数关式,并写出自变量x的取值范围;
(2)在腰BC上求一点F,使梯形ABCD的面积是矩形AEFG的面积的2倍,并求出此时BF的长;
(3)当∠ABC=60°时,矩形AEFG能否为正方形?若能,求出其边长;若不能,请说明理由.
答案:
解:(1)过C作CH⊥AB于H.
在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠ADC=90°,
∴四边形ADCH为矩形.
∴CH=AD=2,BH=AB-CD=3a-2a=a.
在Rt△BCH中,tanB=.
∵四边形AEFG是矩形,∴∠FGA=90°=∠FGB,且FG=x.
∴在Rt△FGB中,tanB=.
∴,即BG=x,∴AG=3a-0.5ax.
∵S矩形AEFG=FG×AG,
∴y=x(3a-x)=-x2+3ax(0<x≤2).?????????????????????…
(2)∵S梯形ABCD=(AB+CD)×AD=(3a+2a)×2=5a,
令2(-x2+3ax)=5a,解得x1=1,x2=5.
∵0<x≤2,∴x=5(舍去).
∴x=1,此时F为BC中点.
∴BF=BC=.?????????????????…
(3)矩形AEFG不能成为正方形.
假设矩形AEFG能成为正方形,则有FG=AG.
∴x=3a-x.
∵∠ABC=60°,则tanB==,∴a=.
∴x==-3>2.
又∵0<x≤2,∴矩形BEFG不能成为正方形.??????????…
解析分析:(1)过C作CH⊥AB于H.可证明四边形ADCH为矩形.设FG=x,根据三角函数得出AG=3a-x.再根据矩形AEFG的面积得出y与x之间的函数关系式可;?????????????????????
(2)由S梯形ABCD的面积,令2(-x2+3ax)=5a,解得x,再由x的取值范围,舍去x=5,从而得出BF的长.
(3)矩形AEFG不能成为正方形.假设矩形AEFG能成为正方形,则有FG=AG.求出x,又0<x≤2,则矩形BEFG不能成为正方形.
点评:本题是一道综合性的题目,考查了直角梯形、正方形的判定和性质以及矩形的性质,综合性较强难度偏大.
如图 在直角梯形ABCD中 DC∥AB ∠ADC=90° AB=3a CD=2a AD=2 点E F分别是腰AD BC上的动点 点G在AB上 且四边形AEFG是矩形.