问题补充:
如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+1分别交x轴、y轴于A,B两点,点P(a,b)是反比例函数y=在第一象限内的任意一点,过点P分别作PM⊥x轴于点M,PN⊥y?轴于点N,PM,PN分别交直线AB于E,F,有下列结论:①AF=BE;②图中的等腰直角三角形有4个;③S△OEF=(a+b-1);④∠EOF=45°.其中结论正确的序号是________.
答案:
②③④
解析分析:由P的坐标及四边形PNOM为矩形,表示出OM=a,即为E的横坐标,PM=b,即为F的纵坐标,又E和F都为直线y=-x+1上的点,将E的横坐标代入直线y=-x+1中求出E的纵坐标,将F的纵坐标代入直线y=-x+1中求出F的横坐标,进而确定出EM和NF,表示出PE及PF,然后三角形OEF的面积=矩形PNOM的面积-直角三角形NOF的面积-直角三角形OEM的面积-直角三角形PEF的面积,求出各自的面积代入,整理后即可求出三角形OEF的面积,可对选项③进行判断;由B和E的坐标,利用两点间的距离公式表示出BE的长,同理由A和F的坐标,表示出AF的长,可判断BE与AF是否相等;图中的等腰直角三角形有4个,分别为三角形AOB,三角形BNF,三角形PEF及三角形AEM,由直线y=-x+1,分别令x=0及y=0,求出对应的y与x的值,确定出A和B的坐标,进而得到OA=OB,由OA与OB垂直,可得出三角形AOB为等腰直角三角形,即∠OBA=∠OAB=45°,又∠BNF与∠EMA都为直角,可得出三角形BFN与三角形AEM都为直角三角形,同理三角形PEF也为等腰直角三角形,即可确定出图中等腰三角形有4个,选项②正确;由P为反比例函数图象上的点,将P的坐标代入反比例函数解析式中求出2ab=1,将表示出AF及BE代入AF?BE中,计算后将2ab=1代入,可得出AF?BE=1,又OA=OB=1,得到OA?OB=1,即AF?BE=OA?OB,变形后得到一个比例式,再根据夹角都为45°,根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出三角形BOE与三角形AOF相似,根据相似三角形的对应角相等可得出∠BOE=∠AFO,而∠BOE=∠BOF+∠FOE,∠OFE为三角形BFO的外角,利用外角性质得到∠OFE=∠BOF+∠OBF,根据等式的性质及等量代换可得出∠FOE=∠OBF=45°,选项④,综上,得到所有正确的选项.
解答:∵P(a,b),∴OM=a,PM=b,
∴点E的横坐标为a,F的纵坐标为b,
又E和F都在直线y=-x+1上,
∴点E(a,1-a),点F(1-b,b),即OM=a,EM=1-a,ON=b,NF=1-b,
∴PE=PM-EM=b-(1-a)=a+b-1,PF=PN-NF=a-(1-b)=a+b-1,
∴S△EOF=S矩形MONP-S△EMO-S△FNO-S△EPF,
=ab-a(1-a)-b(1-b)-(a+b-1)2
=(a+b-1),选项③正确;
∵BE==a,AF==b,
∴BE与AF不一定相等,选项①错误;
∵直线y=-x+1分别交x轴、y轴于A,B两点,
∴令x=0,求出y=1,即B(0,1);令y=0,求出x=1,即A(1,0),
∵OA=OB=1,且∠AOB=90°,即△AOB为等腰直角三角形,
又∠BNF=90°,∠NBF=45°,
∴△BNF为等腰直角三角形,
同理△PEF和△AEM都为等腰直角三角形,
则图中等腰三角形有4个,选项②正确;
∵△AOB为等腰直角三角形,
∴∠FAO=∠EBO=45°,
∵点P(a,b)是曲线y=上一点,
∴2ab=1,即AF?BE=a?b=2ab=1,
又∵OA?OB=1,
∴=,
∴△AOF∽△BEO,
∴∠AFO=∠BOE,
又∠BOE=∠BOF+∠FOE,且∠AFO=∠OBF+∠BOF,
∴∠FOE=∠OBE,又∠OBE=45°,
则∠FOE=45°,选项④正确,
综上,正确选项的序号有:②③④.
故
如图 在平面直角坐标系中 直线y=-x+1分别交x轴 y轴于A B两点 点P(a b)是反比例函数y=在第一象限内的任意一点 过点P分别作PM⊥x轴于点M PN⊥y?