函数f（x）的定义域为D 若存在闭区间[m n]?D 使得函数f（x）满足：①f（x）在[m n

问题补充：

函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[m，n]?D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②f（x）在[m，n]上的值域为[2m，2n]，则称区间[m，n]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有________（填上所有正确的序号）

①f（x）=x2（x≥0）；②f（x）=ex（x∈R）；③f（x）=；④f（x）=．

答案：

①③④

解析分析：根据函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②，或，对四个函数分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”．

解答：函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②，或．

①f（x）=x2（x≥0），若存在“倍值区间”[a，b]，

则，∴，∴，

∴f（x）=x2（x≥0），若存在“倍值区间”[0，2]；

②f（x）=ex（x∈R），若存在“倍值区间”[a，b]，

则，∴，

构建函数g（x）=ex-x，∴g′（x）=ex-1，

∴函数在（-∞，0）上单调减，在（0，+∞）上单调增，

∴函数在x=0处取得极小值，且为最小值．

∵g（0）=1，∴，g（x）＞0，∴ex-x=0无解，故函数不存在“倍值区间”；

③f（x）=（x≥0），f′（x）==，

若存在“倍值区间”[a，b]?[0，1]，

则，∴，∴a=0，b=1，若存在“倍值区间”[0，1]；

④f（x）=loga（ax-）（a＞0，a≠1）．不妨设a＞1，则函数在定义域内为单调增函数

若存在“倍值区间”[m，n]，

则，

，

∴，

∴2m，2n是方程loga（ax-）=2x的两个根，

∴2m，2n是方程a2x-ax+=0的两个根，

由于该方程有两个不等的正根，故存在“倍值区间”[m，n]；

综上知，所给函数中存在“倍值区间”的有①③④．

故

函数f（x）的定义域为D 若存在闭区间[m n]?D 使得函数f（x）满足：①f（x）在[m n]上是单调函数；②f（x）在[m n]上的值域为[2m 2n] 则称区