问题补充:
如图,E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,且AE=BF=CG=DH=AB,则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为________.
答案:
解析分析:先设正方形的边长为a,再求证Rt△AED≌Rt△DHC≌Rt△CGB≌Rt△BFA,再由AE=BF=CG=DH=AB可求出其面积,由相似三角形的判定定理可求出△DHJ、△AEL、△BFN、△CKG是直角三角形,且都全等,再根据S阴影=S□ABCD-4S△AED+4S△AEL计算即可.
解答:解:设正方形的边长为a,则S□ABCD=a2,
∵AE=BF=CG=DH=AB,
∴AE=BF=CG=DH=a,
∴AF==a,
∵∠DAE=∠DCB=∠ADC=∠ABC=90°,
∴Rt△AED≌Rt△DHC≌Rt△CGB≌Rt△BFA,
∴S△AED=×a?a=a2.
∵Rt△AED≌Rt△BFA,
∴∠EAL=∠ADE,∠AEL=∠BFN,
∴∠ALE=∠DAE=90°,
∴△AEL是直角三角形,
∵∠EAL=∠EAL,∠ALE=∠ABF=90°,
∴Rt△AEL∽Rt△AFB,
∴==,即==,
解得,AL=a,EL=,
∴S△AEL=AL?EL=×a×=,
同理可得,S△AEL=S△BNF=S△CKG=S△DHJ=,
∴S阴影=S正方形ABCD-4S△AED+4S△AEL=a2-4S△AED+4S△AEL=a2-4×a2+4×=a2,
∴阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为a2:a2=.
点评:本题涉及到直角三角形的判定定理、相似三角形的判定及性质、矩形及直角三角形的面积公式,比较复杂,涉及面较广,但难度适中.
如图 E F G H分别为正方形ABCD的边AB BC CD DA上的点 且AE=BF=CG=DH=AB 则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为______