问题补充:
如图,在△ABC中,D是BC边的中点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,连接BF.
(1)求证:AF=BD;
(2)要使四边形AFBD是正方形,△ABC应满足什么条件?并证明你的结论.
答案:
解:(1)∵D为BC的中点,E为AD的中点,
∴BD=CD,AE=DE(中点定义),
又AF∥BC(已知),
∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE(两直线平行内错角相等),
在△AEF和△DEC中,
,
∴△AEF≌△DEC(AAS),
∴AF=CD(全等三角形的对应边相等),
∴AF=BD(等量代换);
(2)当△ABC为等腰直角三角形,且∠BAC=90°时,四边形AFBD是正方形,理由如下:
∵AF=BD,AF∥BC,
∴四边形AFBD为平行四边形,
又∵等腰直角三角形ABC,且D为BC的中点,
∴AD=BD,∠ABD=90°,
∴四边形AFBD为正方形.
解析分析:(1)由D和E分别为BC及AD的中点,根据线段中点定义可得BD=CD,AE=DE,再由AF与BC平行,根据两直线平行内错角相等可得两对角相等,利用AAS可得三角形AEF与三角形DCE全等,根据全等三角形的对应边相等可得AF=CD,等量代换可得证;
(2)当△ABC为等腰直角三角形时,四边形AFBD是正方形,理由为:由第一问证得的AF=BD,且AF与BD平行,根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得四边形AFBD为平行四边形,若三角形ABC为等腰直角三角形,D为斜边BC的中点,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=BD,且根据三线合一得到AD与BC垂直,可得平行四边形的邻边相等且有一个角为直角,即可判定出四边形AFBD为正方形.
点评:此题考查了全等三角形的判定与性质,平行线的性质,正方形的判定,等腰直角三角形的性质,利用了转化的数学思想,其中全等三角形的判定方法有:SSS,SAS,ASA,AAS,以及HL(直角三角形),常常利用这些方法来解决三角形的边或角的相等问题.
如图 在△ABC中 D是BC边的中点 E是AD的中点 过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F 连接BF.(1)求证:AF=BD;(2)要使四边形AFBD是正方形 △