问题补充:
如图,△ABC中,AB=AC,AB⊥AC,D是AC的中点,连接BD,过点A作AE⊥BD,交BC于E,求证:BE=2EC.
答案:
证明:设AE与BD交于点F,过点D作DG∥BC交AE于点G,
∵D是AC的中点,
∴DG是△AEC的中位线,
∴EC=2GD,
∵AB=AC,
∴AB=2AD,
∵AB⊥AC,
∴BD==AD,
∵∠BAD=∠DFA=90°,
∵∠ABD+∠ADF=90°,∠ADF+∠DAF=90°,
∴∠ABD=∠DAF,
∴△AFD∽△BAD,
∴,
∴DF=AD,
∴BF=BD-DF=AD,
∴DF:BF=1:4,
∵GD∥BC,
∴△DFG∽△BFE,
∴=,
∴BE=4GD,
∴BE=2EC.
解析分析:首先设AE与BD交于点F,过点D作DG∥BC交AE于点G,由AB=AC,AB⊥AC,D是AC的中点,易求得EC=2GD,BD=AD,又可证得△AFD∽△BAD,由相似三角形的对应边成比例,可求得DF=AD,即可得DF:BF=1:4,又由△DFG∽△BFE,即可得BE=4DG,继而证得BE=2EC.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形的中位线定理.此题难度较大,解题的关键是准确作出辅助线,注意数形结合思想的应用.