问题补充:
填空题已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x,若不等式af(x)+g(2x)≥0对x∈(0,1]恒成立,则实数a的取值范围是________.
答案:
解析分析:先根据函数奇偶性定义,解出奇函数f(x)和偶函数g(x)的表达式,将这个表达式不等式af(x)+g(2x)≥0,通过变形可得,再通过换元,讨论出右边在x∈(0,1]的最大值,可以得出实数a的取值范围.解答:∵f(x)为定义在R上的奇函数,g(x)为定义在R上的偶函数∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)又∵由f(x)+g(x)=2x,结合f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=2-x,∴f(x)=(2x-2-x),g(x)=(2x+2-x)不等式af(x)+g(2x)≥0,化简为∵0<x<1∴0<2x<2-2-x<1因此将上面不等式整理,得:令t=2x-2-x,则t>0∴因此,实数a的取值范围是a故