今天这篇是《三次多项式的分解》的续篇.那篇文章讲的是下面这道题的解法.
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分类讨论,首先缩参
在《三次多项式的分解》中,我们采用的是“分离参数”的方法,这也是首选的方法.
如果不分离参数,能不能解呢?
不分离参数,势必需要对参数a进行分类讨论.可是a的范围太广,可以取遍所有的实数.所以,在分类讨论之前,要尽可能地缩小讨论范围.
分类讨论的第一招是:利用特殊点的函数值缩小参数的讨论范围.
2
参考答案,唯有膜拜
下面,让我们来膜拜参考答案的解法吧.
这个解法牛不牛?
牛.
能不能想到?
必然想不到,尤其是对导数进行放缩.(本质是变换主元的思想)
童鞋们在考场上想不到的方法,即使再NB,也仅仅是水中月、镜中花,徒增羡慕嫉妒恨(主要是恨)
.
3
正常人类,通法思维
正常人类应该如何讨论呢?
前面的步骤与标答一样.
下面要判断f"(x)在大于2的区间上的符号,就必须研究方程f"(x)=0在大于2的区间上是否有解的问题.自然地,二次方程的解的情况取决于判别式.
先研究判别式不大于0的情况,这个情况容易研究.
再研究判别式大于0的情况.
仅仅判别式大于0还是不够的,还要研究在区间上有没有根.这里要用到二次函数零点分布的相关知识.
判别式大于0时,导函数f"(x)的图象大致如下:
最后,把符合题意的a值区间取并集,就是所求结果.
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整体思维,优化讨论
是不是觉得好麻烦?
其实上述讨论还可以优化.
因为a≥-5/4,所以对称轴x=-a≤5/4<2,即自变量2在对称轴的右侧.
再结合f"(x)开口向上,f"(2)≥0,那么f"(x)的图象画出来是不是这样的:
所以,在大于等于2的区间上,都有f"(x)≥0.
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解题感悟,策略总结
分类讨论就是这样的,大家都觉得麻烦,你不怕麻烦,你就得分了.你是要得分还是要不麻烦?
这就是所谓的“通法”.
正所谓: 技巧易算不易想,通法好想不好算.(当然,你也可以认为,通法既不好想,也不好算
)
反过来,我们也通过这样的训练,优化自己的解题策略.(总结因人而异)
能吃药不打针,能打针不动手术;能分离参数搞定的,不用分类讨论;
如果一定要讨论,用特值缩小参数的讨论范围;
全方位、多角度思考问题,打好手里的牌,综合利用现有条件,减少讨论次数.