一、函数的定义与性质
1．函数概念
如果变量x在数集D中任取一个值，变量y按某个对应法则f总有唯一确定的值与它对应，则称y是x的函数，记作y＝f（x），
．其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，集合
称为函数y＝f（x）的值域．
2．函数的特性
（1）函数的有界性
若存在
，使得
对于任意
都成立，则称f（x）在D上有界，亦称f（x）是D上的有界函数，否则称为无界．
（2）函数的单调性
设y＝f（x）在区间（a，b）内有定义，x1，x2为（a，b）内任意两点，当
时，总有f（x1）＜f（x2），则称f（x）在区间（a，b）内为单调增加的函数；当
时，总有f（x1）＞f（x2），则称f（x）在区间（a，b）内为单调减少的函数．单调增加和单调减少的函数统称为单调函数．
（3）函数的奇偶性
设函数f（x）的定义域关于原点对称，如果对于任意
，有
，则称f（x）是偶函数；若
，则称
是奇函数．偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于坐标原点中心对称．
（4）函数的周期性
若存在一个非零常数T，使得函数
在其定义域内有
成立，则称函数
为周期函数，T称为
的周期．
3．复合函数与初等函数
（1）反函数
设函数y＝f（x），
的值域为W，且x与y是一一对应的，对任何
，按照对应法则
总有唯一确定的x与之对应，称函数
为
的反函数，
又称为直接函数．习惯上用y表示函数，所以反函数可写成
，
，它们的图形关于y＝x对称．
（2）基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数．
（3）复合函数
设函数y＝f（u）的定义域为
，函数u＝g（x）的定义域为
，且其值域
，则函数
称为由函数u＝g（x）与函数y＝f（u）构成的复合函数，它的定义域为
，变量u称为中间变量．
（4）隐函数
形如Ｆ（x,y）＝０的方程称为隐函数，其中，对于区间上的任一x，总有满足该方程的唯一的ｙ存在．
（5）初等函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所构成的并能用一个式子表示的函数称为初等函数．
二、数列与函数的极限
1．数列极限的定义
对任意
，存在正整数N，当n＞N时，恒有
，称常数a是数列
的极限，又称数列
收敛于a．
2．数列极限的性质
（1）有界性：收敛的数列必定有界．
（2）唯一性：每个收敛的数列只有一个极限．
3．函数极限的定义
（1）定义1
对任意
，存在正数X，当
时，恒有
在上述定义中，将
改写成
便得到
时函数的极限．
（2）定义2
对任意
，存在正数δ，当
时，恒有
在上述定义中，将
改写成
便得到
时的左（右）极限的定义．左极限记为
，右极限记为
．
4．函数极限的性质
（1）函数f（x）极限存在的充分必要条件是f（x）的左、右极限均存在并且相等．
（2）若函数f（x）极限存在，则极限值是唯一的．
（3）若
，且A＞0（或A＜0），则存在
，当
时，恒有
．
三、极限运算法则、无穷小与无穷大
1．极限的四则运算法则
设
则
（1）
；
（2）
；
（3）
．
2．无穷小与无穷大
（1）无穷小定义
如果
则称函数f（x）当
时为无穷小．
（2）无穷大定义
如果
则称函数f（x）当
时为无穷大．
3．无穷小与函数极限的关系
定理1
．
4．无穷小与无穷大的关系
在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大．
5．无穷小的运算性质
定理2 在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小．
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小．
推论1 在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小．
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小．
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小．
6．无穷小的比较
设α，β是同一个极限过程中的两个无穷小，且
．
（1）若
，则称在此极限过程中β是比α高阶的无穷小，记作
．
（2）若
，则称在此极限过程中β与α是同阶的无穷小．特别地，当
＝1时，称在此极限过程中β与α是等价无穷小，记作β～α．
（3）若
，
则称在此极限过程中β是α的k阶的无穷小，若在同一极限过程中，
且极限
存在或为无穷大，则有
当
时，常用的等价无穷小有
;
;
7．常用的重要结论
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
．
四、极限存在法则、未定式的极限
1．极限存在准则
（1）准则I（夹逼准则）
如果数列xn，yn及zn满足下列条件：
①
②
那么数列xn的极限存在，且
，在函数极限情形下，上述准则也成立．
准则I' 如果当
时，有
①
②
那么
存在，且等于A．
（2）准则Ⅱ
单调有界数列必有极限．
2．两个重要极限
．
3．未定式的极限
定义1
如果当
或
时，两个函数f（x）与F（x）都趋于零或都趋于无穷大．那么
极限有可能存在，也有可能不存在．通常把这种极限称为
或
型未定式（或不定式）．
4．洛必达法则
（1）定理1
型洛必达法则．
设①当
时，函数f（x）与F（x）都趋于零；
②在点a某去心邻域内，
及
都存在，且
；
③
存在（或为无穷大）；
那么
．
（2）定理2
时，
型洛必达法则．
设①当
时，函数f（x）与F（x）都趋于零；
②当
时，
都存在，且
;
③
存在（或为无穷大）；
那么
．
评注：对
或
时的未定式
，也有相应的洛必达法则．
5．其他类型的未定式
除
或
型未定式外，常见类型还有：
五种，它们可以化为
或
型的未定式，然后使用洛必达法则．
五、函数的连续性
1．函数连续的概念
定义l 设函数f（x）在
内有定义，如果
，则称函数f（x）在点x0连续．
定义2 设函数f（x）在
内有定义，如果
，则称函数f（x）在点x0连续．
在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，又称函数在该区间上连续．
2．函数的间断点及其分类
使函数f（x）不连续的点x0称为f（x）的间断点．左右极限都存在的间断点称为第一类间断点，其中，左右极限相等的间断点称为可去间断点；左右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点．
3．连续函数的运算及初等函数的连续性
（1）连续函数的四则运算性质
设f（x），g（x）在点x0连续，则
，
在点x0也连续．
（2）复合函数的连续性
若
在点x0连续，函数
在相应点
连续，则复合函数
在点x0连续．
（3）基本初等函数在定义域内是连续的，一切初等函数在其定义区间内都是连续的．
4．闭区间上连续函数的性质
定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值．
定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界．
定理3（零点定理）设函数f（x）在闭区间
上连续，且f（a）与f（b）异号（即
），则在开区间（a，b）内至少存在一点
使
．
定理4（介值定理）
设函数f（x）在闭区间
上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f（a）＝A及f（b）＝B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少有一点
，使得
．
推论 在闭区间上连续的函数必可以取得介于最大值M与最小值m之间的任何值．
