29.如图,▱ABCD中,点O是AC与BD的交点,过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F.
(1)求证:△AOE≌△COF;
(2)请连接EC、AF,则EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是矩形,并说明理由.
28.(1)证明:连结CE.
∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点,
∴CE=AB=AE.
∵△ACD是等边三角形,
∴AD=CD.
在△ADE与△CDE中, ,
∴△ADE≌△CDE(SSS),
∴∠ADE=∠CDE=30°.
∵∠DCB=150°,
∴∠EDC+∠DCB=180°.
∴DE∥CB.
(2)解:∵∠DCB=150°,若四边形DCBE是平行四边形,则DC∥BE,∠DCB+∠B=180°.
∴∠B=30°.
在Rt△ACB中,sinB= ,sin30°= ,AC= 或AB=2AC.
∴当AC= 或AB=2AC时,四边形DCBE是平行四边形.
此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质,以及平行四边形的判定,关键是掌握直角三角形的性质,以及等边三角形的性质.
29.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=OC,AB∥CD.
∴∠E=∠F又∠AOE=∠COF.
∴△AOE≌△COF(ASA);
(2)连接EC、AF,则EF与AC满足EF=AC时,四边形AECF是矩形,
理由如下:
由(1)可知△AOE≌△COF,
∴OE=OF,
∵AO=CO,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵EF=AC,
∴四边形AECF是矩形.