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可点击回看：《浅谈建筑结构抗震设计概念（一）》《浅谈建筑结构抗震设计概念（二）》《浅谈建筑结构抗震设计概念（三）》《浅谈建筑结构抗震设计概念（四）》《浅谈建筑结构抗震设计概念（五）》
浅谈建筑结构抗震设计概念（六）
作者：王锁军
北京蓝图工程设计有限公司
对于谈抗震设计概念，绕不开的是振型分解法。抗震规范的5.2.2和5.2.3条是振型分解反应谱法的计算公式，似乎专门为软件编制准备的，除了大学教材几乎没人用它进行手算。结构工程师只要会操作软件，再说出几个名词比如振型分解法、基底剪力法、振型周期合理不合理，振型参与质量不小于90%、振型数量够不够等等，似乎就行了，但仅仅知道这些对于优秀的结构工程师远远不够。比如规范采用基底剪力法要考虑顶部辫梢的地震放大，而振型分解法为什么不用？振型参与系数分母中位移的平方乘以重量的物理意义是什么？质量参与系数不小于90%，为什么说质量参与，还有不参与地震反应的质量？这些力学概念也应该明白。我们不但软件会用，而且要做到知其然并知其所以然，这是一个追求卓越的工程师所必须的。要想知道这些力学概念，还得从最基本的振型谈起。
一：振型
振型者，振动的型态也，通俗的说就是物体振动时的样子。一般没学过动力学的人，想象振动的样子一般都是像钟摆或秋千那样的来回摆动。我大学期间学习结构动力学时，老师带我们到实验室演示振动。一把一米多长的钢板尺一端固定在振动台上，老师扭动按钮，振动台突然动了一下，钢尺便上下摆动起来，过了好长一会儿钢尺才停了下来，老师说这是有微阻尼的自由振动。老师又旋动按钮，振动台慢慢的上下移动，钢尺上下摆动起来，摆动频率也很快稳定下来，老师说这是受迫振动，频率和振动台振动相等。但是随着老师的按钮的控制，振动台振动逐渐加快，我不敢相信自己的眼睛，钢尺居然开始扭动起来，同学们都瞪大了惊奇的眼睛。随着振动台越来越快，钢尺几乎扭成了麻花，很多女同学开始激动的尖叫。老师在小白板上画出了下面的图形：
老师告诉我们说，钢尺有可能按这些图形的任何一种样子振动，就看振动台的频率了，频率越大，扭出来的麻花就越多，这就是振型，当然振动也可能是某些振型的组合。
2000年左右PKPM软件才开发出了地震波激励下结构振动反应的动画，那时候的动画还是像糖葫芦一样的质量串在屏幕上抽风式的抖动，特好玩，让其它专业觉的我们结构师真是高大上。如果仔细看还是能大概看出几种不同的振型的搅在一起的振动，但要不是亲眼看到，很难想象出建筑物那样的地震下的振动的样子。
这些振型到底有什么特点？单质点振动有固有频率，多质点的固有频率是多少？振型组合是怎么回事？这就需要结构动力学进行振型的分析了，就是通常说的振型分解。
二：振型分析
单质点的振动分析是从无阻尼的自由振动开始的，那多质点的振动也得从最简单的两个质点的无阻尼自由振动开始，再逐步深入吧。见下图：
质点在自由振动时，每个质点符合达朗贝尔的动平衡方程即：
下角标1指的是第一个质点，几个质点就能列出几个这样的方程。
r1是质点1的弹性恢复力。单质点体系弹性恢复力位移乘以侧向刚度，相对于单质点，多质点体系的刚度计算就稍微麻烦一些，因为每个质点都会有位移，其它有些质点的位移也会对其它质点产当恢复力，所以质点1的弹性恢复力等于两个质点位移的弹性恢复力之和。
kij叫结构质点刚度系数，比如k12就是质点2有单位位移时，质点1受到的弹性恢复力或需要在质点1上施加的力。
则：
多质点时，道理一样，多少质点就会有多少了这样方程：
这可以列成矩阵的形式，不知道大家感觉怎样，我看到矩阵就犯懵，所以就不列了。
两个质点的方程如下：
我们假设自由振动的质点振动是简谐振动，事实上质点的自由振动也的确是简谐振动，即
而且这个振动还有个特点，两个质点的振动频率ω和α相位是相同的；两个质点的位移数值Y1和Y2是随时间变化的，但它们的比值是用永远不变的，即Y1/Y2是个常数，静止或回复到原位时是0/0。
这个Y1/Y2之比常数就是我们所谓的振型，那个ω就是这个振型的自振频率。
我们在求解方程前，先要做个质点为简谐振动的假设，否则就无法求解这个微分方程了。搞数学的人一定不服，谁能证明振动一定是谐振动呢？会不会有别的振动方式呢？回答是不会的，我们观察到的上帝创造的自然界的自由振动就是这样。我们工程力学的目的是为工程服务的，不像数学、物理学是探求自然界的终极秘密的，这就是工程力学不同于数学物理学的地方吧。
把上式带入到方程里，消去公因子
，就可以得到下面的两个方程：
则：
还好就两个质点，解这个一元二次方程也不是太困难，结果如下：
好复杂的公式呀，还记的单质点的自振频率公式吗？
，如此简洁，只和K、m有关。两个质点的公式就变成了如此复杂，但还是只和、有关，不过是两个质点的质量和四个刚度。如果三个质点甚至更多呢，还能这样求解吗？
当牛顿发表《自然科学的哲学原理》后，人类认识到牛顿三大定律的伟大，以为只要知道了物体的初始运动的所有参数，就可以预知物体未来运行的规律，但一个《三体》问题就将人类打回了原形。两个物体的万有引力公式如此的简洁，但人类最伟大的数学家高斯、莱布尼斯等当对三个物体的运行规律进行研究时，发现几乎绞尽脑汁也无法解答三体的运动规律，人类终于认识到三体问题的无解，更何况灿烂星海的宇宙呢？这也是刘慈欣科幻小说《三体》名称的由来。
这就是两个振型，即振动时两个质点的位移不变的比例关系和不同的自振频率。
公式看起来太复杂，我们举几个例子，看看两个质点不同振型的位移的比例关系到底是什么样子。
（1）具有相同质量和相同侧向刚度的两个质点，把m和k套入上述公式就能得出其振型和频率如下图：
（2）当质点1的质量和刚度都是第二个质点的2倍时：
也就是说质点的质量和侧向刚度不同时，质点的位移比例关系也会不同。
如果是下面这个样子的两个质点呢？
像不像一栋房子上有一个小阁楼，也就是我们平常说的鞭梢，小阁楼的质量和刚度都远小于下面的楼层，比如是1/90时带入上面复杂的公式就会得到下面的振型。
怪不得把这种情况叫鞭稍效应呢，屋顶上的这些小东西地震的时候很容易被破坏，要加倍注意。
振型分解法可以把这种情况下辫梢的位移和内力计算清楚，但多质点体系简化为单自由度如抗规上的基底剪力法无法考虑这种辫梢作用，所以抗规规定用基底剪力法进行计算时，突出屋面的小阁楼和厂房的天窗等突出物等地震效应乘以3倍的增大系数就是这个原因。
单质点体系的自由振动，我们知道是以自振频率为像钟摆的那样的往复运动，口语中把慢的叫摆动，快的叫振动。但两个质点咋振动呢？既然有两个频率和两个振型，那自由振动以那个振型和频率来振呢，还是一块振呢？
答案是：都有可能，看初始条件了。
比如，用绳子把两个质点拉开成第一振型的位移比例，突然断开，这就是第一振型的位移初始条件，就按第一振型振下去，没第二振型什么事儿。同样把两个质点拉开成第二振型的位移比例，断开后就是第二振型的振动。如果两个质点的初始位移比例和那个振型都不符，那就两个振型就混合振起来，两个振型的贡献的位移比例看初始位移的和那个接近了。
见下图：
这样我们推而广之，就可以总结一下多质点体系（包括单质点）的自由振动特性了，即有几个质点就有几个振型，对应着几个自振频率，其自由振动可以任何振型及某几种振型的组合来振动，就看初始条件了，这就是是多质点体系的振动特性，自然单质点就一个自振频率和来回摆动的一个振型。
二：双自由度体系的受迫振动
像单自由度的受迫振动的求解一样，我们无法进行任何复杂激励下的振动的解析求解，只好先分析最简单的外部激励的振动了，比如外荷载是简谐荷载
的情况。
把上文动平衡方程的右端的0改成外荷载，就是受迫振动的动平衡方程了。
上述两个外荷载的变化频率是相同的，仅最大值Fp不同，如果频率不同呢？那解析法求解就困难了。我们只能从这种简单的外荷载开始分析，地震作用的激励虽然复杂，但对每个质点来说，其地震激励的频率是相同的，这是地震激励的特点。
多质点体系对每个质点来说和单质点的振动一样，以自振频率的振动在阻尼阻碍下会渐渐消失，剩下的就是以外荷载的频率θ进行振动的平稳振动了，即如下：
代入上面的方程，通过复杂的求解可以等到两个质点的位移最大值为：
为了方便，我们把上述两式的分母叫D0,分子分别叫D1、D2。
仔细看下D0，再看下我们求解两质点自由振动的频率ω1、ω2时用到方程：
多质点体系可以共振的频率和质点的个数相同，即等于每个振型的自振频率。
任何体系都有阻尼，再回想一下单自由度体系有阻尼时的受迫振动，体系自由振动的部分会逐渐消失，而当外荷载的频率和自振频率相同时，发生共振，因为有阻尼的存在，最大振幅将维持在一个稳定的数值。
同样我们也可以定性的理解两个质点的受迫振动的情况，当外荷载的频率和其中的一个振型的频率相等时，这个振型就会发生共振，其它振型的自振会很快消失，其振动就会以这种振型并以最大的振幅表现出来。
很有趣的是，看下这个公式：
我们可以设法让分子等于0
即
那就Y1等于0了，也就是说我们可以调整质点2的质量和它的刚度使那Y1就等于0，也就是说可以让质点1停止不动，这个原理就是质量调谐器（TMD，Tuned Mass Damper)。
三：调谐质量阻尼器（TMD）
看下面的简图
这样我们可以根据外荷载的数值和频率设计出一个副质量系统，让主质量在外荷载的作用下，正好不动，这就是吸振器的原理。
从这个设计方法知道，吸振器对恒定频率的机械振动最有效。但吸震器也用在激励不是谐振的情况下，比如可以用来减少高层建筑风振下或水平地震作用的水平的振动。美国曼哈顿的一个59层的大楼就安装了一个巨大的质量块在计算机的控制下反方向移动，用来减少水平位移，就是这个原理。
四：振型之间的正交性
什么是振型的正交，用文字解释起来很困难，先往下看吧。
见下图：
这是两个质点的两个振型，在一个振动振型的某一时刻，两个质点的位移产生的恢复力正好等于该时刻的惯性力（还记的浅谈（一）伪加速度的概念吗），我们可以理解成该惯性力为一组静外力产生了一组静位移。
这样就是两组静外力产生了两组静位移。
根据功的互等定理，等等！什么是功的互等定理，很多人都忘了吧。需要先简单的解释下，比如两组不同平衡力在一个线弹性体系上产生两组不同静位移，第一组力乘以第二组力产生位移所做的功等于第二组力在第一组位移上所做的功。这是结构力学的一大核心概念即虚位移原理推出来的基本定理，喜欢追根问底的人可以复习下结构力学的虚位移原理部分。
根据互等定理：
这就是振型之间的正交关系，即振型的正交性。
我觉的可以这样理解正交性，即某一振型的质点的惯性力在其它振型的位移上做的功等于零，也就是说，在质点的自由振动过程中，各质点在某一振型中受到的力（惯性力、回复力）不会影响到其它振型的振动。现在终于搞明白了，怪不得自由振动总是不同振型组合下不变的振动下去呢。
那有外荷载的振动情况又怎样呢？我们可以把外荷载也分配开来到不同振型里去，这样不同振型的外荷载也就不会影响到其它的振型了，质点的振动就是不变的振型组合或叫振型叠加。
有阻尼的情况呢？阻尼情况太复杂了，阻尼力也可以分配到不同的振型里，某振型的阻尼不在其它的振型位移上做功吗？好像不行吧！阻尼可不管哪个振型统统有影响，但没关系，我们可以假定阻尼力是可以这个样子分解的啦，否则我们就无法运用振型的正交性进行下面的工作了，这种假定的阻尼力模型就叫做经典阻尼模型。
我们还可以这样类比理解振型的互不干涉。一台大型音乐会。我们很容易的分辨出钢琴、小提琴、大提琴、萨克斯不同乐器的声音，声音就是空气质点的振动，不同频率乐器的振动互不干扰，所以我们很容易的听清不同频率乐器发出的声音。但互不干扰是理论上的，实际由于频率的接近、阻尼的影响等很难完全互不干扰，比如你很难从一群小学生的吵闹中分别出你儿子的声音，就是频率太接近太多了，还是有干扰，有雾霾的室外的声音听起来就模糊就是因为空气混入了尘埃增大了阻尼的原因。
利用振型的正交性质来进行振型分解叠加分析，是振型分解的核心内容，下次再谈吧！
6月26日晚
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